172.- XVIII Concurso del Verano

EL CONCURSO DEL VERANO 2022

            Nuestro concurso llega a la mayoría de edad. Esperemos que sigáis disfrutando de él como en ediciones pasadas.

          Aunque el mecanismo es muy sencillo, recordamos las características de este concurso de forma escueta:

            ■ A partir de las pistas que se dan en el texto, se trata de averiguar el título de una película oculta (clásica normalmente, o al menos con cierta antigüedad), y de paso, responder unas preguntillas (las de tipo matemático en color rojo; las culturales, en azul). Quien o quienes mayor puntuación alcancen serán los ganadores, a los que la dirección de DivulgaMAT les hará llegar algún obsequio, en la medida de sus posibilidades.

■ Se intentan (no siempre se logra) plantear cuestiones de todos los niveles (sencillas, medias, difíciles pocas), pero como nadie sabe a qué categoría pertenece cada una (además de que la dificultad es un concepto subjetivo), ninguna a priori debería evitarse. Trataremos de no exceder el nivel de 2º de Bachillerato, es decir, matemáticas elementales (lo que no quiere decir triviales). Tampoco deberían dejarse de enviar las respuestas, aunque sólo se sepa una (quien sabe, a lo mejor, nadie ha acertado más; cosas más raras se ven diariamente).

■ No hay un orden establecido ni a la hora de describir escenas de la película, ni a la hora de descifrar el contenido de las cuestiones. Puede que sepamos responder antes a la pregunta quinta que a las anteriores. Pero todas pueden ayudar en averiguar el título de la película. Los fotogramas que se incluyen son todos de la película en cuestión.

XVIII  CONCURSO

            Es posible que alguna vez hayáis leído que existen procedimientos basados en las matemáticas para escapar de un laberinto. Y es posible que alguna vez hayáis resuelto alguno de los que se proponen en la sección de pasatiempos de las revistas o periódicos. La película de este año es bastante laberíntica por muchos motivos, así que podemos empezar tratando de resolver un par de ellos, uno más matemático (M – 1, pero que con cierta dosis de paciencia sale), y otro más tradicional (C – 1; C – 2).

            Otra característica presente en todo el metraje de la película son los juegos (C – 3; M – 2) y los juguetes. Uno de los protagonistas es un amante de los juegos y los enigmas (éstos son parte de su trabajo) (M – 3). Además, hay muchos objetos dispersos en cada escena de la película (C – 4), pero en algún momento los relojes tienen cierta relevancia (C – 5; M – 4).

            Por otra parte, si observamos el modo en que está embaldosado el suelo en algunos lugares, observamos una disposición con cuadrados y rectángulos de diferentes tamaños que finalmente forman una zona cuadrada perfecta (M – 5).

           De entre esos muchos objetos que juegan algún papel en la trama de la película hay un joyero que contiene lo que su nombre indica (M – 6). También se encuentra la figura que vemos en la imagen, que quizá pueda ayudar a descubrir el oficio al que se dedica uno de los protagonistas de la historia (C – 6; C – 7). Y también aparece una diana (M – 7).

            Además de lo comentado, la película es singular por el elenco que muestra (C – 8). Y por el giro que toman los acontecimientos (M – 8). Por cierto, ¿quién no ha ido alguna vez al cuarto de baño con alguna tarea con la que entretenerse? En la película, al lado del retrete, en una pared, podemos observar el enorme crucigrama de la imagen (M – 9). 

             En concursos pasados, los participantes siempre han manifestado que es de cierta ayuda conocer el año de estreno de la película. Normalmente proponemos una cuestión en cuya resolución aparece ese año. En esta ocasión, diremos que se hizo una nueva versión de la película, ya en este siglo, cuya aportación aparte de la estética, es bastante cuestionable, a pesar de que el nuevo guion contara con todo un premio Nobel como responsable. Supongamos que escribimos los números naturales desde el 2, en cinco columnas del siguiente modo

            Pues bien, el año de la película, el de su remake, el año actual, y la diferencia de años entre el año actual y la primera versión, se encuentran en columnas diferentes. La diferencia entre el año actual y la segunda versión comparte la misma columna que el año de esa segunda versión, y para que no tengáis que contemplar demasiados casos, digamos que esas diferencias entre el año actual y el estreno de ambas versiones son las dos múltiplos de cinco (M – 10; C – 8). Y para acabar (M – 11; C – 9; C – 10; C – 11).

CUESTIONES MATEMÁTICAS

M – 1.-  Imaginemos que nos topamos con el siguiente cuadro

+ 2	– 2	+ 4	– 1	+ 3
– 3	+ 3	– 1	+ 3	– 2
+ 1	– 2	0	– 2	+ 3
– 3	+ 2	– 3	+ 2	– 4
+ 4	– 2	+ 1	– 3	+ 2

                                                              

Nos situamos en la casilla que contiene un + 1 en la primera fila. Ese valor indica el número de pasos que se pueden dar en cualquiera de las 4 direcciones: arriba, izquierda, derecha, abajo. En este caso, al estar en un borde, no podríamos abajo, ya que una vez en el laberinto, no es posible saltar fuera de la cuadrícula (siempre debemos permanecer dentro de los límites). El objetivo es alcanzar el centro de la cuadrícula, es decir, llegar a la baldosa 0 (donde nos espera nuestro anfitrión). Pero NO se puede repetir nunca una cuadrícula ya visitada.

Hay dos modalidades que hay que resolver: la sencilla, que es alcanzar con esas normas la casilla 0, sin tener en cuenta los signos + y – que aparecen; y la del experto, en la que la suma de las casillas visitadas teniendo en cuenta los signos de cada una, debe ser igual a 0 al llegar a la casilla 0.

M – 2.- En uno de los juegos aparecen bolas, a las que cada jugador impulsa cuando juega. Una de ellas se desliza por una superficie rugosa. En el primer segundo recorre 10 centímetros, disminuyendo la velocidad a medida que avanza recorriendo en cada segundo 2/3 de la distancia recorrida en el segundo anterior. ¿A qué distancia del inicio se detendrá?

            M – 3.- No sería difícil pensar que, en su intento de poner en evidencia a otro de los protagonistas, o más bien, demostrar su superioridad sobre él, le propusiera un juego como éste: se trata de formar un número de diez dígitos. Comienza él mismo escribiendo cualquier dígito que no sea cero en el primer lugar sobre un papel. Después su invitado debería escribir un dígito diferente que escribe en segundo lugar, turnándose posteriormente y agregando un dígito al número que va formándose. En cada turno, el dígito seleccionado debe ser diferente de todos los dígitos anteriores, y el número formado por los primeros n dígitos debe ser siempre divisible por n.

            Por ejemplo, 321 pueden ser los primeros tres movimientos del juego, ya que 3 es divisible por 1, 32 es divisible por 2 y 321 es divisible por 3. Cuando un jugador no pueda escribir un nuevo dígito cumpliendo estas normas, pierde el juego. Si se consigue llegar a los diez movimientos (es decir, se pueden escribir los diez dígitos), se declara un empate.

            (i) Demostrar que el juego puede terminar en empate.

            (ii) Demostrar que el anfitrión tiene una estrategia ganadora y describirla.

            (iii) ¿Sería más justo el juego si cambiamos la segunda condición por la de que el número formado al poner un nuevo dígito sea siempre divisible por el dígito que se añade (considerando el 0 como divisible por 10)? Por ejemplo 3210 sería posible porque 3 es divisible por 3, 32 es divisible por 2, 321 es divisible por 1, 3210 es divisible por 10, etc.

            M – 4.- ¿Cuántas veces las manecillas de un reloj forman un ángulo recto al cabo del día? ¿A qué horas? (Basta con detallar el cálculo de una de ellas, pongamos, por ejemplo, aquella que está entre las 7 y las 8, aunque se describan todas).

            M – 5.- Supongamos que tenemos solamente dos tipos de baldosas cuadradas. El primero tiene una longitud de lado 1 cm y el otro tiene una longitud de lado 2 cm. ¿Cuál sería el cuadrado más pequeño que podríamos hacer con el mismo número de baldosas de cada tipo?

M – 6.- Además de un collar de rubíes hay otros con perlas, esmeraldas, etc. Este último está formado por una cadena de hexágonos regulares en los que se han incrustado las esmeraldas en forma de triángulos equiláteros como vemos en la imagen. Sabemos que el área de cada hexágono es de 96 unidades. ¿Cuál es entonces la superficie de cada esmeralda?

 

            M – 7.- Aunque uno de los protagonistas es un experto lanzador de dardos y acierta en el centro de la diana a la primera, evidentemente eso no es lo normal. Supongamos que somos nosotros los que lanzamos tres dardos (lo usual en el juego, como seguramente sabréis), apuntando al centro. En nuestra imaginaria partida, el segundo dardo cae más lejos del centro que el primero. ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer lanzamiento esté más lejos del centro que el primero? Supondremos que nuestra habilidad de lanzamiento es constante.

            M – 8.- Se proponen nuevos juegos por parte de otros personajes. Imaginemos una mesa circular. Dos jugadores se turnan para colocar monedas en ella sin que se superpongan. El jugador que no pueda hacer un movimiento pierde. ¿Tiene alguno de los jugadores una estrategia ganadora? Si existe, ¿puedes describirla?

            M – 9.- Para no ser menos, vamos a proponer un crucigrama de contenido matemático. Y por respetar la nacionalidad de la película, las soluciones deben ponerse en inglés. Al final del texto están las definiciones y el crucigrama.

            M – 10.- Años de estreno de ambas películas.

            M – 11.- ¿Cuál es la película enigma de este concurso? 

 

CUESTIONES CULTURALES

            C – 1.- Resolver el siguiente laberinto (elige la opción que quieras: o llegar al centro desde la entrada exterior, o desde el centro, salir fuera).

            C – 2.- Indica al menos tres lugares del mundo en los que haya laberintos reales, describiendo un poco su historia (para qué se diseñaron, por quien, etc.). Se valorarán más aquellos que cumplan las siguientes condiciones: estar en España, estar lo más cerca posible del lugar del rodaje de la película, antigüedad.

            C – 3.- Haz un listado de todos los juegos que aparecen o se mencionan a lo largo de la película.

          C – 4.- El guitarrista troglodita de la imagen que aparece en la película, también está en otras películas. Una de ellas la protagoniza un cantante que trató de emular a otro, de actualidad estos días (¿Quién y por qué?), aunque ese sucedáneo ni triunfó, ni siquiera fue conocido fuera de su país. ¿A qué cantante nos referimos y en qué otras películas aparece el guitarrista troglodita como parte del atrezo?

            C – 5.- ¿Por qué?

       C – 6.- ¿Cuál es dicho oficio? ¿Por qué es célebre el protagonista? ¿Qué otros autores y sus creaciones son nombrados y/o representados en fotografías en la película?

          C – 7.- Repetidas veces vemos el retrato de un personaje importante en el argumento, el de la imagen adjunta, pero que nunca aparece físicamente. ¿Quién es? ¿A qué actriz real corresponde? ¿Por qué aparece precisamente esa actriz? ¿Hay alguna otra imagen suya a lo largo de la película diferente a la de este retrato?

            C – 8.- ¿Observas alguno “extraño” en los títulos de crédito? ¿A qué se debe? Enumera al menos tres películas más en las que el número de protagonistas sea menos o igual al de ésta. A ser posible de nacionalidades y épocas diferentes.

            C – 9.- ¿Qué diferencias observas en ambas versiones? Aparte de basarse en la misma obra común, y por tanto tener un argumento “similar”, ¿encuentras alguna cosa súper evidente que coincida en ambas?

            C – 10.- Para muy cinéfilos: uno de los protagonistas hace una referencia a otra célebre película directamente relacionada con él, aunque de un modo un tanto enigmático. ¿Puedes explicarlo? Y de paso indica algún actor que rechazó participar en esta película.

            C – 11.- Opinión sobre la película (o películas). ¿Te han gustado? ¿Las conocías? ¿Te han llamado la atención algún aspecto de ellas (algún tema que abordan, por ejemplo)? ¿Cuál te ha gustado más?

CRUCIGRAMA PROPUESTO (M – 9)

            Horizontales:

            1.-  Conjetura en teoría de números que es una de los siete problemas con premios del Clay Mathematics Institute

            11.- Comete esta galleta blanca y negra mientras haces tareas para el hogar

            12.- Úsalo para escuchar conferencias de teoría de números

            13.- Euclides Alejandría

            15.- La fracción continua [1; 1, 1, 1, …] no es The Silver Sum, ni The Copper Product, sino The Golden _____

            17.-  Un número con tantos dígitos como su nombre (recordamos que en inglés)

            19.- Este símbolo es una función teórica numérica que se define igual a  +1 o a  -1

            21.- Lo que uno espera hacer con una conjetura

            24.- Un primo de Sophie Germain es, por definición, un primo p tal que 2p + 1 es

            26.- Su último teorema fue garabateado en el margen de una copia de la Aritmética de Diofanto

            29.- Función ____ de Riemann

            30.- Él originó los símbolos f(x), e, i, p, y Σ

            32.- Un ejemplo de un par de números de Ruth-Aaron son (714, 700 + n), donde n =

         34.- Probó que M₆₇ = 2⁶⁷ – 1 es compuesto en la 1903 reunión de la American Mathematical Society.

            37.- Divisor

            42.- Período de tiempo

            43.- Cómo ver tu tarea si la electricidad desaparece

            44.- La E en John E. Littlewood, quien fue famoso por su asociación con Hardy

            45.- Si n se escribe como suma de dos cuadrados, entonces ningún primo de la forma 4k + 3 puede aparecer en una potencia ____ de la descomposición en factores de n

            47.- Organización norteamericana fundada en 1888 para motivar la enseñanza y la investigación de las matemáticas

            48.- Fue el primero en dar la solución general a las ecuaciones diofánticas lineales

            49.- El ganado de Arquímedes pastaba una vez en los campos de esta isla mediterránea (no olvides que hay que escribir la solución en inglés)

            50.- Una verificación elemental de la multiplicación que hace uso de la congruencia 10n ≡ 1(mod 9), se denomina en inglés “casting ___ nines”

            51.- Fundó, en 1996, la página the Great Internet Mersenne Prime Search

            53.- Primera y última letra en la abreviatura de un millón de ciclos por segundo

            54.- En 1971, Brillhart y Morrison pudieron factorizar el Número de Fermat F_n, donde n es igual a

            60.- Todos los números perfectos pares mayores que 6 tienen una raíz ____ de uno

            62.- Tanto él como su padre eran profesores de matemáticas en Oxford, pero se hizo famoso por su relación con la hija del decano de Christ Church, Oxford

            65.- Autor del rompecabezas de la Torre de Hanoi

            67.- 2 no es una ____ para un triángulo pitagórico (recuerda que está en inglés)

            69.- Completó trabajos sobre teoría de números y la curvatura de las superficies antes de morir de cáncer de mama en 1831

            70.- Roger Federer, campeón de tenis de Wimbleton en 2004, y Leonhard Euler tienen esto en común

            72.- El hermano menor de Littlewood murió a los 8 años al caer en uno de estos

            73.- Colección finita o infinita de objetos

            74.- Ciudad natal del matemático José Anastacio de Cunha

            75.- Según F. R. David, no vienen de manera sencilla

 

            Verticales:

            1.- La serie de recíprocos de todos los primos gemelos converge a un valor que lleva el nombre de este noruego, Viggo ____

            2.- Abreviatura latina de “eso es”

            3.- No es la función floor, sino otra. La misma en la que se encontraba el violinista

            4.- Pascal y Fermat usaron las matemáticas para estudiar los juegos y las posibilidades de

            5.- Si destacas en teoría de números, puedes estar cualificado para un trabajo en esta organización criptológica

            6.- El orden de 12 módulo 13

            7.- La forma más obvia de calcular 12¹⁰ (mod 23) es multiplicar 12 veces cierto valor calculando el resto al dividir por 23 en cada multiplicación

            8.- Robert P. Langlands, quien recibió el Premio Cole en Teoría de Números en 1982 por su trabajo pionero sobre formas automórficas, recibió su doctorado de esta escuela

            9.- Debes hacer esto en tu libro de texto de teoría de números

            10.- El de 2 (mod 7) es 3

            14.- Cualquier número entero positivo se puede expresar como suma de este número de cuadrados

            15.- En el popular esquema de encriptación RSA, la letra “R” representa a esta persona

            16.- Canción popular de los Beatles “Let” (dos palabras)

            18.- A qué velocidad gira un motor (abreviatura)

          19.- Si p(n) denota el número de particiones del entero, entonces el _____ cuando n tiende a infinito [p(n)]^(1/n) es 1

            20.- El conjunto de enteros positivos de 2 dígitos < 50 que se pueden expresar como suma de dos cuadrados en dos maneras distintas

            22.- Si la congruencia x2 ≡ 5 mod 31 tiene solución, entonces 5 es una ____ cuadratica de 31

            23.- Si ϕ denota la función phi de Euler, entonces ϕ (n) ≡ c (mód 2), ∀ n > 2; entonces c es igual a esto

            24.- Pasa la

            25.- El castillo de un célebre personaje de ficción

            26.- Estas medallas en matemáticas son los equivalentes de los Premios Nobel

            27.- Iniciales de un famoso inventor estadounidense nacido en Ohio

            28.- Título que se otorga al completar un doctorado

            31.- Los de Galois incluyen una de éstas de los enteros módulo p, con p primo

            33.- Una ____ continua es una representación de los números reales en términos de una sucesión de números enteros

            35.- Matemático alemán que obtuvo estimaciones asintóticas de cuántos enteros son ≤ x que son expresables como suma de dos cuadrados

            36.- Su famoso teorema dice que para cualquier número irracional x existen infinitos p/q racionales tales que

            38.- El símbolo “∨” en p ∨ q representa esto

            39.- El italiano Maurolico demostró que todo número par perfecto es también numero ____

            40.- Conjeturó que siempre existe un primo entre un número y su doble

            41.- Su nombre se asocia a una fórmula de inversión y a una tira de papel.

            43.- Los números enteros al cuadrado se pueden escribir como producto de un cuadrado y esto

            46.- Pi ___ se celebra el 14 de marzo

            49.- El teorema de los cuatro cuadrados afirma que todo número natural es el ____ de 4 cuadrados enteros

            52.- Abel, Eisenstein y Ramanujan todos murieron a causa de este (abreviatura)

            55.- “Bueno, he hecho una cosa que tú nunca podrías haber hecho, que es haber colaborado con Littlewood y Ramanujan en términos de _____"

            56.- Demostró con éxito el último teorema de Fermat

            57.- Durante su vida, Gauss produjo todas estas pruebas de la Ley de Reciprocidad Cuadrática

          58.- El número de primos menor o igual que cualquier x dado es aproximadamente igual a x dividido por su

          59.- El de un conjunto es el menor número ordinal mayor que el rango de cualquier miembro del conjunto

            61.- El símbolo del germanio

            63.- Este tipo de intervalo no incluye sus extremos

            64.- Si completas este rompecabezas, eres un matemático _____ (recuerda, en inglés)

            65.- Primera y última letra de la abreviatura de menor múltiplo común

            66.- Agencia gubernamental que proporciona al Presidente inteligencia de seguridad nacional (ya que él no suele tener mucha)

            68.- Aquí es donde Hardy y Ramanujan encontraron el número 1729

            70.- Grado que la mayoría de los estudiantes de licenciatura en matemáticas reciben (abreviatura)

            71.- Más vale ___ que arre, dice el dicho borruno popular.

Baremo: Todas las cuestiones, tanto las rojas (las matemáticas), como las azules (cine y demás), se valorarán con 10 puntos como máximo. En total, 220 puntos en juego, si las cuentas no me fallan.  

            Todo comentario, sugerencia, queja, etc., será bien recibido. Si no salen algunas cosas, no importa; lo que cuenta es tratar de pasar un buen rato, disfrutar de la película (que el verano da para mucho), y mantener las neuronas un poco activas. Confío que no haya demasiados errores en las cuestiones. Se han repasado varias veces, pero algunas, al ser inventadas o retocadas de otros enunciados, podrían tener alguna errata. Sed benévolos con vuestros calificativos si tal cosa sucediera.

            El plazo para enviar las respuestas, es como en años precedentes, hasta las 00:00 del jueves 1 de Septiembre de 2022, a la dirección apoblacion@uva.es, indicando en el asunto Verano 2022.

¡¡¡¡Buen Verano Cine-matemático!!!!

(Publicado en DivulgaMAT el 30 de junio de 2022)