181.- 2000 Año Mundial de las Matemáticas [1]

         Hace ya 25 años de aquel evento. Recupero los cuestionarios utilizados entonces como complemento al visionado de las cuatro películas del ciclo de cine que celebramos en Valladolid. Se separarán en dos partes.

          En 1992 la Unión Matemática Internacional (IMU) declaró el año 2000 como Año Mundial de las Matemáticas con el objetivo de determinar los grandes desafíos matemáticos para el siglo XXI, replicando lo sucedido en el año 1900 con una iniciativa similar llevada a cabo por el matemático DAVID HILBERT. Posteriormente, la UNESCO acordó en su Conferencia General de 1997 su apoyo y patrocinio al 2000 como Año Mundial de las Matemáticas. En España, el 9 de febrero de 1999, la Comisión Mixta de Investigación Científica y Desarrollo Tecnológico debatió y aprobó por unanimidad en el Congreso de los Diputados una proposición no de Ley sobre el Año Mundial de las Matemáticas 2000.

En todo el mundo, diversas instituciones, públicas y privadas, elaboraron y llevaron a cabo cientos de actividades con el objetivo de trasladar a la sociedad la importancia y necesidad de conocer, educar e investigar en matemáticas. En este enlace se recuerda someramente la relevancia y repercusión de aquel evento. En este otro, recuerdo con cierto detalle cómo me encargué de la organización de un ciclo de cine y matemáticas en Valladolid que tuvo lugar en noviembre del año 2000, hace exactamente 25 años.

Las películas, además de proyectarlas para el público en general, se ofertaron a través de la Dirección Provincial de Educación a los centros de Bachillerato, COU y Formación Profesional de segundo grado o Ciclos de grado superior de la ciudad y la provincia. Las plazas eran limitadas y en seguida se cubrieron con 7 centros (cinco públicos y dos concertados, cinco de la capital y dos de la provincia). En los cuatro miércoles del mes, 461 alumnos asistieron a las proyecciones. Para que aquello no se quedara en un simple visionado de una película, se propuso a los profesores la realización de trabajos, tareas u otras actividades relacionadas con el contenido de las películas. Como material de referencia, me encargué de redactar una serie de posibles temas sobre los que trabajar. Estuvieron disponibles en la Red cierto tiempo, hasta que desaparecieron sin mayor explicación. Con motivo de este recuerdo de aquella actividad, los vuelvo a poner a disposición de todo aquel que quiera tenerlos y utilizarlos.

Para que el documento no sea excesivamente largo y pesado, lo separo en dos, cada uno con dos películas. Y tal como se subió entonces, sin cambio alguno, por lo que es posible que los enlaces a páginas web ya no existan. No obstante, es fácil sustituirlos por otros similares, seguramente más elaborados que los de entonces.

EL INDOMABLE WILL HUNTING. - ACTIVIDADES

1.- Sobre la película

            1.- ¿Qué te ha parecido la película?

            2.- ¿Qué aspectos relacionados con las matemáticas has encontrado?

            3.- ¿Qué te ha llamado más la atención? ¿Cambiarías algo? ¿Por qué?

        4.- Analiza la relación existente entre las diferentes personas que trabajan en matemáticas: el profesor Lambeau, su ayudante Tom, los alumnos de Lambeau, el profesor mayor y Will. ¿te parecen sus relaciones correctas, realistas, increíbles,  …, como las calificarías?

            5.- La película habla sobre un joven genio en matemáticas. ¿Conoces algún ejemplo real en el campo científico, aparte de los citados en la película?

2.- Referencias presentes en la película

           A lo largo de la película se hacen diferentes referencias a personas, instituciones o lugares reales. Trata de elaborar un pequeño dossier sobre cada uno de ellos:

         a) de tipo matemático: Análisis de Fourier, Teoría de grafos, Combinatoria, Medalla Fields, SRINIVASA RAMANUJAN y GODFREY H. HARDY, THEODORE KACZYNSKI (“Unabomber”).

               b) científicos: ALBERT EINSTEIN, JONAS SALK.

             c) de tipo geográfico: el MIT (Massachusetts Institute of Technology), la Universidad de Harvard, el NSA (National Security Agency).

3.- Actividad Matemática.- Teoría de grafos

               El problema que Will Hunting resuelve al principio de la película se enmarca dentro de la teoría de grafos. Esta rama de la matemática discreta se ocupa de problemas que tienen que ver únicamente con puntos y sus conexiones y surgió del estudio de problemas concretos. A continuación, trataremos de describir el problema que la mayoría de los autores señalan como el origen histórico de la teoría de grafos: El problema de los puentes de Köningsberg.

               En la ciudad de Köningsberg (la actual Kaliningrado, en Lituania), hay una isla llamada Kneiphof, alrededor de la cual circulan dos ramificaciones del río Pregel. En el siglo XVIII ciudad e isla estaban comunicadas por siete puentes (ver figura). Sus habitantes se preguntaron: ¿puede una persona seguir un circuito de modo que cruce todos los puentes una sola vez terminando el final del trayecto en el punto de partida?

                           

      El genial matemático LEONHARD EULER (1707-1783) probó que dicho trayecto era imposible y dedujo condiciones generales para la existencia de soluciones para cualquier problema del mismo tipo. Para probar que la citada ruta era imposible, realizó el siguiente esquema: sustituyó cada parte de la ciudad por un punto (los vértices de un grafo) y los puentes por arcos que unen dichos puntos (los lados o aristas del grafo). Observa el grafo resultante. En él está contenida toda la información necesaria: para pasar de las zonas A a la C y de la A a la B hay dos puentes, y para hacerlo de D al resto, sólo hay un puente. El problema queda entonces enunciado del siguiente modo: ¿se puede trazar en el grafo anterior un circuito que pase exactamente una vez por cada lado? A un circuito de estas características se le llama euleriano.

                Supongamos que existe el circuito planteado. Cada vez que se llega a un vértice se abandona otro, por lo que la cantidad total de lados que tocan cada vértice debe ser un número par, excepto para los extremos de dicha ruta (los vértices inicial y final) que puede ser impar. ¿Cuántos lados llegan a cada punto? Para B, C y D son 3, y para A son 5, todos impares, luego es imposible la existencia de tal recorrido.

               En resumen:

               1.- Si todos los vértices de un grafo son de orden par (es decir, llegan a él un número par de lados), éste se puede recorrer de una sola pasada y volver al punto de partida. Es un grafo euleriano.

              2.- Si dos de los vértices son de orden impar y el resto de orden par, se puede recorrer el grafo de una sola pasada pero no se puede acabar en el punto de partida. En este caso el grafo se llama semieuleriano.

               3.- Si el grafo tiene más de dos vértices con un número impar de lados concurrentes, el problema planteado no tiene solución.

Cuestiones

                1.- En la actualidad en Kaliningrado se han construido dos puentes más que permiten recorrer todos los puentes una sola vez y acabar en el punto de partida. ¿Puedes indicar dónde se han construido y dar un posible camino euleriano que los recorra?

                2.- Si no hiciera falta volver al punto de partida al final del recorrido, bastaría con un único puente más. ¿Dónde se situaría? ¿Cuál sería un posible recorrido? Si en lugar de construir uno, se dinamitara uno, dejándolos en seis, ¿sería posible? ¿Cómo?

                3.- Años después de la época de EULER, el tráfico de la ciudad era tan denso que las autoridades construyeron el puente que muestra la figura, introduciéndose además un sistema de dirección única. Sin embargo, con este sistema (el grafo correspondiente se llama grafo dirigido) era imposible encontrar un circuito euleriano. ¿Por qué?

 

               EULER también había considerado esta posibilidad y dedujo que para que el circuito sea posible todos los vértices deben tener el mismo número de entradas que de salidas, y uno de los extremos tiene que tener una entrada más que salidas, y uno cuyas salidas sean una más que las entradas. ¿Cumple el grafo anterior estas condiciones? ¿Cómo elegirías las direcciones para que fuera posible el circuito euleriano?

              4.- Supongamos ahora que sólo tenemos 5 puentes según se indica en el grafo adjunto. (hemos cambiado las letras de las zonas de tierra por números) ¿De cuántas formas distintas podemos llegar de la zona 3 a la zona 4 pasando por tres puentes, permitiéndose pasar las veces que se quiera por el mismo puente?

               Para resolver esta cuestión, vamos a describir el grafo anterior mediante una matríz del siguiente modo: los elementos  de la matriz vendrán dados por

 =  

Esto nos lleva a la matriz de adyacencia siguiente A = . En ella se indica que las zonas 2 y 3, por ejemplo,

no están conectadas (los elementos   y   son nulos). Las sucesivas potencias de la matriz A, ..., Aⁿ , nos van a indicar el número de caminos posibles que existen cuando se permite pasar por n puentes. Calcula A² y A³ y comprueba que en efecto esto es así. Por ejemplo, en A², = 3. Esto indica que existen tres formas diferentes de ir de la zona 1 a ella misma pasando por dos puentes o dos veces por el mismo puente. En efecto 1® 2® 1, 1® 3® 1 y 1® 4® 1. De la zona 1 a la 4, hay dos formas (= 2), que vienen dadas por 1® 3® 4 y 1® 2® 4.

 

               5.- El siguiente grafo representa una red de calles de una ciudad. El camión de la basura debe recoger los contenedores de todas esas calles, pero sin repetir dos veces la misma calle (no les apetece estar toda la noche dando vueltas). Salen de A y al final del recorrido deben haber regresado al mismo punto. ¿Es posible hacerlo? En caso afirmativo, indica un posible trayecto. ¿Cuántos distintos hay?  NOTA: En su recorrido no deben repetir calle, pero sí pueden pasar varias veces por un mismo punto. Si no se permitiera pasar por un mismo punto varias veces, el recorrido se llamaría hamiltoniano.

 

               Seguramente esta actividad os recuerde el conocido pasatiempo de dibujar una figura de un solo trazo, sin repeticiones y sin levantar el lápiz del papel. En efecto es lo mismo, pero los grafos no sólo aparecen en el análisis de juegos y pasatiempos. La teoría de grafos es una de las actuales líneas de investigación matemática más importante. No en vano se aplican en múltiples campos: estudio de circuitos eléctricos (¿recuerdas las reglas de KIRCHHOFF?), diseño de redes en informática, trazado de carreteras en ingeniería, estudio de enlaces químicos y cristalográficos, y en aplicaciones de ciencias tan alejadas a priori de las matemáticas como la lingüistica, la zoología o la antropología.

 

               6.- Para finalizar, algo un poco más difícil: el conocido juego del dodecaedro introducido por el matemático WILLIAM R. HAMILTON (1805-1865). En cada vértice de la siguiente figura aparece una letra que indica una ciudad del mundo (Amsterdam, Berlín, Colonia, Dublín, Ereván, Florencia, Ginebra, Halifax, Ibiza, Jaipur, Kairuán, Londres, Madrid, Nueva York, Oslo, Paría, Quito, Roma, Singapur, Tokio, por ejemplo). Partiendo de una ciudad cualquiera, por ejemplo, de Amsterdam, se trata de establecer un itinerario continuo que pase por todos los lados del poliedro y que pase una y solo una vez por cada una de las ciudades (un camino hamiltoniano)

CUBE.- ACTIVIDADES

   1.- Sobre la película

               1.- ¿Qué te ha parecido la película?

               2.- ¿Qué aspectos relacionados con las matemáticas has encontrado?

               3.- ¿Qué te ha llamado más la atención? ¿Cambiarías algo? ¿Por qué?

           4.- ¿Con cuál de los personajes más te identificas? Analiza la personalidad y el proceder de cada uno de ellos y trata de determinar si su actitud ante la vida refleja de algún modo nuestra sociedad.

               5.- ¿La visión de la película es muy pesimista o crees que es realista?

  2.- Referencias presentes en la película

               1.- La mayor parte de las críticas de la película la emparentan con la obra de FRANZ KAFKA. Averigua a qué se debe esta similitud recabando información sobre las obras y el pensamiento de este importante escritor. ¿Conoces otras películas, novelas o expresiones artísticas relacionadas con KAFKA? ¿Crees que su idea de la vida y la sociedad está vigente en la actualidad?

               2.- El argumento de Cube es parecido al de la novela El Señor de las moscas, de WILLIAM GOLDING. Localiza este libro o la película del mismo título, y compárala con Cube.

               3.- Otras referencias que aparecen en el film son:

             · la teoría de la conspiración (seguro que te recuerda a una película de MEL GIBSON y JULIA ROBERTS recientemente pasada por la televisión). ¿Crees que esta teoría es posible?

               · los números primos. ¿Por qué son tan importantes? Trata de averiguar algo de su historia y de sus aplicaciones prácticas.

                  · el autismo. ¿En qué consiste? ¿Son ciertas las facultades que se les suponen a los autistas?

               · el cubo de RUBIK. Los movimientos de las salas y la idea del cubo recuerdan a este conocido pasatiempo. ¿Qué matemáticas subyacen en él?

3.- Actividad matemática. - Códigos y criptografía

               En la película cada estancia del enorme cubo está etiquetada con un número de nueve dígitos separados en grupos de tres. Leaven, la joven estudiante de matemáticas deduce que en estos números están incluidas algunas características de las salas:

                              1.- si tienen o no trampas mortales

                              2.- la posición relativa de cada una respecto al Cubo.

                              3.- los movimientos que van describiendo

               Las diferentes placas que nos muestran la película tienen los siguientes números:

                          566  472  737                     476  804  939                     582  434  865                     149  419  568

                          645  372  649                     656  778  462                     517  478  565                     666  897  466                

                          567  898  545                    

 Cuestiones

                1.- En un principio Leaven supone que una habitación tiene trampa si alguno de los tres números que la identifica es un número primo. ¿Cuáles de los números anteriores cumplen esta condición?

               2.- Sin embargo, esa suposición se comprobó que era errónea, y que la trampa existía si alguno de los números era potencia de un primo. ¿Qué salas de las descritas lo cumplen? ¿Es esta segunda hipótesis más general o más restrictiva que la anterior? ¿Por qué?

               3.- Para determinar la posición relativa de las habitaciones en el conjunto total, deben sumarse los dígitos de cada grupo entre sí. Por ejemplo, la sala 582 434 865 daría las coordenadas (15, 11, 19). Obtén las coordenadas de cada sala y comprueba si en algún caso responden a estancias adyacentes. ¿Contradicen los resultados el argumento de la película?

               4.- Suponiendo que los movimientos de los cubos obedecieran a una ley fija, programada, los protagonistas necesitarán conocer en qué momento vuelven a la posición original con la esperanza de hallar la salida. En la película la pauta que siguen es la siguiente: tomemos como ejemplo la sala 567 898 545 (es decir, la correspondiente a las coordenadas (18, 25, 14)). Se restan los dígitos del siguiente modo

567  ®  5 - 6 = -1 ;  6 - 7 = -1 ;  7 - 5 = 2

898  ®  8 - 9 = -1 ;  9 - 8 =  1 ;  8 - 8 = 0

545  ®  5 - 4 =  1 ;  4 - 5 = -1 ;  5 - 5 = 0

                 De aquí resultan, tomándoles por columnas, los vectores de permutación (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (2, 0, 0). Estos vectores nos indican las tres posibles posiciones para la habitación 567 898 545, que son

(18, 25, 14)  +  (-1, -1, 1)  =  (17, 24, 15)

(17, 24, 15)  +  (-1, 1, -1) =  (16, 25, 14)

(16, 25, 14)  +  (2, 0, 0) =  (18, 25, 14)

               Obsérvese que, con este procedimiento, cada tres movimientos, siempre se vuelve a la posición de partida. ¿Puedes explicar por qué?

               5.- Según esto, conociendo la posición de la habitación actual y las de las adyacentes, se puede saber si estamos en posiciones consecutivas y en qué movimiento volvemos a la situación de partida. En la película, estando en el cubito de coordenadas (17, 25, 14), Leaven pide a sus compañeros que le indiquen los números de las salas contiguas, que son 666  897  466,  567  898  545 y 656  778  462. ¿Corresponden estas codificaciones a posiciones consecutivas para alguna de sus permutaciones? (NOTA: en el montaje final de la película se descartaron algunas escenas).

               En nuestra vida cotidiana utilizamos con mucha frecuencia códigos numéricos o de letras que guardan algún tipo de información como sucede con los números de las habitaciones de la película. Gran parte de la información sobre personas que se guardan en las bases de datos de los ordenadores están codificadas. Analicemos dos ejemplos, el I.S.B.N. de los libros y el N.I.F.

               En primer lugar, debemos familiarizarnos con el concepto matemático en que se basan algunas codificaciones: las congruencias.  Dos números, a y b, se dice que son congruentes módulo n, y se denota mediante a º b (mod n), si a - b es un múltiplo de n. Por ejemplo 27 º 17 (mod 5) porque 27 - 17 = 2 × 5. Observa que el resto de dividir 27 y 17 entre 5 es precisamente 2. Las congruencias son muy utilizadas en teoría de números porque los números congruentes suelen tener propiedades comunes. De este modo, para trabajar con números grandes como 1234567890  o  257¹⁵⁹, es habitual utilizar otros números congruentes con ellos más pequeños.

                6.- Resuelve las siguientes cuestiones:

               i.- encontrar tres números a tales que  a º 23 (mod 7).

               ii.- ¿Existe algún n para el que 3137 º 123 (mod n)?

               iii.- Trata de probar que si  a º b (mod n) y c º d (mod n), entonces a+c º b+d (mod n) y que ac º bd (mod n).

 

               7.- Los libros se codifican mediante los números del I.S.B.N. (International Standard Book Number). Observa el ISBN de la figura:

               * el primer grupo de dígitos indica el país (o el idioma). En España es el 84.

               * el segundo grupo de dígitos designa la editorial.

               * el tercer grupo es un número asignado al libro por la editorial.

             * el último carácter, el décimo, es un factor de comprobación. Si designamos el número completo por x₁ x₂ x₃ x₄ x₅x₆x₇ x₈x₉   el décimo dígito verifica la relación          x₁₀  º

               Comprueba si el ejemplo anterior corresponde de verdad a un ISBN e indica cuál de los siguientes es falso

                              a) 0 - 13165332 - 6                           b) 0 - 1392 - 4101 - 4                        c) 07 - 028761 - 4

               ¿Podrías calcular el número X que falta en el ISBN siguiente  0 - 201 - 1X - 502 - 7 ?

               Las librerías utilizan el ISBN para encargar los libros. Es más rápido y sencillo, con la ayuda del ordenador y el correo electrónico, transmitir un número que el título del libro, su autor, la editorial, el año de edición, etc.

               8.- Prácticamente todos los productos que compramos hoy en día llevan un código de barras y un número. En la caja registradora, el código de barras se examina mediante un lector láser que envía un mensaje a un ordenador, donde se encuentran los precios de todos los productos, cuántos artículos como ese quedan, etc. El ordenador envía la información oportuna a la pantalla de la caja registradora y hace imprimir el recibo correspondiente. Los números del código de barras del artículo suelen seguir la siguiente estructura:

               * el código del país, 97, en el ejemplo anterior. (Cada producto suele tener códigos diferentes).

               * Referencia del fabricante: 88460

               * Número del producto: 48958

               * Dígito de control: 0

               Como puedes comprobar, parte del código de ISBN del libro del ejemplo está contenido en el código de barras. Para los códigos de barras, el dígito de control se calcula del siguiente modo: se suman las seis cifras que ocupan los lugares impares empezando por la izquierda; llamemos a este valor X. A continuación, se suman las seis cifras de los puestos pares, Y. Se tiene que cumplir que

X - Y + dígito de control º 0 (modulo n),

donde el valor de n suele ser 8 o 6, aunque para cada tipo de producto puede haber un n diferente. Comprueba que en el ejemplo anterior n es 8, y realiza el cálculo para otros productos de diferente clase.

               9.- También el cálculo de la letra del N.I.F. (Número de Identificación Fiscal) de cada D.N.I: obedece a un algoritmo y a una codificación. En este caso, se calcula el número del D.N.I. módulo 23 y al valor obtenido se le asigna una letra según la siguiente clave:

               0 ® T; 1® R; 2® W; 3® A; 4 ® G; 5® M; 6® Y; 7® F; 8® P; 9® D; 10® X; 11® B; 12® N; 13® J; 14 ® Z; 15® S; 16® Q; 17® V; 18® H; 19® L; 20® C; 21® K; 22® E.

Obtén la letra de tu D.N.I., y calcula tres N.I.F. distintos que tengan la C como letra del N.I.F.

               10.- a) Se han recibido los siguientes N.I.F. por correo electrónico. ¿Son correctos o ha habido algún error en la transcripción  42. 094. 683 - Z  y  5. 080. 569 - D ?

               b) El N.I.F. no puede corregir un error a menos que se sepa en qué posición está el dígito equivocado. Prueba de ello es la siguiente cuestión: De un N.I.F. se desconoce el número de las decenas, 312. 0X8. Se sabe que la letra es la T. ¿Cuál es el dígito que falta? ¿Puede haber algún otro error?

               Los códigos también se han empleado y se emplean en la transmisión de mensajes secretos. El cifrado de mensajes data de los tiempos más remotos, aunque es sobre todo a partir de la II Guerra Mundial cuando más se ha desarrollado. La ciencia que estudia la seguridad en las transmisiones para que determinadas informaciones no sean descubiertas ni descifradas por personas, empresas o instituciones que no se desea se llama criptografía. Algunos de los sistemas más complejos de codificación se basan en resultados matemáticos. Trata de averiguar algo más sobre la criptografía, su historia, los métodos tradicionales de codificación de mensajes, etc. En particular recaba información sobre el sistema RSA de clave pública, uno de los más utilizados en la actualidad, basado en la dificultad de factorizar números primos de gran tamaño. Aunque todo el mundo sabe cómo descifrarlo (clave pública), sólo los que conocen la factorización en producto de dos números primos gigantescos de otro número mucho mayor pueden descifrar los mensajes encriptados con este procedimiento.