182.- 2000 Año Mundial de las Matemáticas [2]

             Segunda entrega con las actividades propuestas en el año 2000 tras el visionado de las películas del ciclo de Cine y Matemáticas.

MOEBIUS.- ACTIVIDADES

1.- Sobre la película          

               1.- ¿Qué te ha parecido la película?

               2.- ¿Qué aspectos relacionados con las matemáticas has encontrado?

               3.- ¿Qué te ha llamado más la atención? ¿Cambiarías algo? ¿Por qué?

            4.- El final de la película es un tanto “extraño” aunque su intención es claramente reivindicativa. Comentarlo brevemente.

              5.- Expresa tu opinión sobre las siguientes frases que aparecen en la película: “vivimos en un mundo donde nadie escucha” y “los hombres y los tiempos desaparecen sin dejar huella”. ¿Algún otro comentario o cita te ha llamado la atención?

2.- Referencias presentes en la película

               A lo largo de la película se hacen diferentes referencias a personas, acontecimientos o lugares reales. Trata de recopilar alguna información adicional acerca de los siguientes aspectos:

            1.- El matemático y astrónomo alemán AUGUST FERDINAND MOEBIUS (1790-1860) y los orígenes de la topología.

          2.- El artista gráfico MAURITS CORNELIUS ESCHER (1898-1972). Algunos de sus grabados tienen a la banda de Moebius como tema central. Por otro lado, gran parte de su trabajo ha tenido como motivación las matemáticas o la física. Existe una amplia bibliografía en castellano sobre su vida y obra. Particularmente interesante es el libro El espejo mágico de M.C. Escher de BRUNO ERNST de la editorial Taschen. Si tienes acceso a internet, puedes hacer una visita a un museo virtual sobre su obra en la dirección http://www.artico.com/escher/.

               3.- En una de las estaciones del Subte en la película aparece el nombre del escritor argentino JORGE LUIS BORGES. Y no es casualidad ya que gran parte del argumento de la misma tiene mucho que ver con este autor. Muchos de los relatos de BORGES nos hablan de laberintos, del tiempo y del infinito. Localiza el libro El libro de arena y lee el cuento del mismo título (tranquilo; son sólo 6 páginas). Analiza los aspectos matemáticos del mismo y trata de explicar su intención.

              4.- Aún hoy muchas madres argentinas piden justicia para sus hijos desaparecidos durante la última dictadura militar que sufrió aquel país. Trata de conocer a grandes rasgos qué sucedió y cuál ha sido y es actualmente la actitud de los posteriores gobiernos del país. ¿Ves alguna relación con lo que sucede en la película?

3.- Actividad matemática. - Topología

               La topología es una rama de la matemática moderna que estudia las propiedades que permanecen invariantes cuando a una estructura se la estira, retuerce o deforma, siempre que tal deformación sea continua, entendiéndose como tal, aquella que no permite desgarrar ni añadir trozos que no estuviesen presentes en la estructura inicialmente. Estas ideas suelen explicarse pensando en figuras de goma o plastilina. Cuando mediante las reglas citadas es posible transformar un objeto en otro, se dice que ambos objetos son topológicamente equivalentes. De este modo, una esfera, un balón de rugby o un cubo son estructuras topológicamente equivalentes.

               Una de las propiedades topológicas de los objetos es la conexión. Una circunferencia divide al plano en dos regiones diferentes, una parte interior (el círculo) y otra exterior. Dos puntos cualesquiera de cada una de esas zonas pueden unirse entre sí, pero no podemos unir un punto de la parte interior y otro de la exterior sin cortar la circunferencia. Lo mismo ocurre con la esfera: una hormiga atrapada en su interior no puede salir de esa zona sin perforar la esfera. Una hoja de papel tiene dos caras, y para pasar de una a otra hay que atravesar el borde (hacerle un agujero no está permitido tal y como comentamos anteriormente). ¿Existirá un objeto que tenga una sola cara y un solo borde, de manera que una hormiga pudiera recorrer toda la superficie del objeto sin cruzar jamás por el borde? Tal objeto, muy sencillo de construir, es la base argumental de esta película, la banda de Moebius.

Cuestiones

               1.- Toma una tira rectangular de papel de unos 3 cm. de ancho y 20 cm. de largo. Dibuja una cruz en la cara superior de la tira y otra en la cara inferior. Pega con celofán o pegamento los extremos de la banda de modo que coincidan el vértice A con el D y el B con el C tal y como se indica en la figura

  

               ¿Puedes unir las cruces marcadas sin pasar por el borde ni hacer un agujero en la banda? En consecuencia,

¿Cuántas caras tiene la superficie resultante?

               2.- Coge unas tijeras y corta longitudinalmente el anillo. ¿Qué se obtiene?

               3.- Toma una nueva tira de papel exactamente igual a la descrita en la primera cuestión y dibuja como antes dos cruces por ambas caras. Gira ahora uno de los extremos 180º tal y como aparece en la figura, pegando a continuación los extremos de modo que coincidan los vértices A y C y B y D. El resultado es la banda de Moebius

.

  

                

 

 

 

             ¿Es ahora posible unir las dos cruces dibujadas mediante una línea que no cruce el borde? Si desde un punto cualquiera sobre la banda quisiéramos pintar de rojo la cara exterior, ¿qué superficie tendríamos que pintar? De las respuestas anteriores, deduce cuantas caras tiene la banda de Moebius.

               La banda de Moebius es la superficie más simple que tiene una sola cara. Sus curiosas propiedades han originado bastantes aplicaciones. Los ingenieros suelen utilizarlas en las correas de transmisión de las máquinas, asegurándose así que el desgaste sea uniforme por toda la cinta. También se han diseñado cintas magnetofónicas cuya duración es el doble de la habitual y los ilusionistas han ideado numerosos trucos basados en esta superficie.

          4.- Construye otras bandas de Moebius, pero en lugar de realizar un único giro de 180º, haz dos, tres, cuatro, etc. ¿Cuántas caras tienen estas bandas? ¿Puedes deducir una regla general que indique el número de caras dependiendo del número de torsiones? 

                  

             5.- Construye dos bandas de Moebius de las dimensiones de la indicada en la primera cuestión. Corta longitudinalmente una de ellas justo a la mitad (es decir, a 1.5 cm del borde) ¿qué obtienes? Corta la otra banda del mismo modo, pero a 1/3 de su anchura (es decir, a 1 cm. del borde), ¿cuál es ahora el resultado?

             6.- Repite la actividad quinta sobre bandas de Moebius de dos, tres, cuatro, etc. torsiones e intenta obtener algún tipo de conclusión sobre lo que sucede.

PI, FE EN EL CAOS. - ACTIVIDADES

1.- Sobre la película

             1.- ¿Qué te ha parecido la película?

             2.- ¿Qué aspectos relacionados con las matemáticas has encontrado?

             3.- ¿Qué te ha llamado más la atención? ¿Cambiarías algo? ¿Por qué?

            4.- ¿Crees posible, como el protagonista, que hay un orden oculto que gobierna toda la existencia del cosmos, o estás más de acuerdo con la opinión de su profesor de que las repeticiones numéricas son fruto de la casualidad?

           5.- La obsesión por algo, aunque sea de carácter científico, ¿puede llevarnos a la locura? ¿Es negativo para una persona dedicar demasiado tiempo a la investigación? Expresa argumentos a favor y en contra.

 2.- Referencias presentes en la película

          a) Además de las comentadas en el siguiente apartado, aparecen referencias a la teoría del caos, la numerología, la cábala, el juego del Go, la Bolsa, la migraña, la paranoia. Trata de buscar alguna información adicional sobre estos u otros temas que te hayan llamado la atención en la película y juzga si fueron fielmente utilizadas.

                b) El protagonista ha construido en su casa un potente ordenador a partir de piezas en desuso. ¿Crees que esto es factible? Busca información sobre el origen de los ordenadores modernos y cómo eran las primeras computadoras. En particular trata de averiguar algo sobre el ingeniero alemán KONRAD ZUSE y su creación: la primera máquina programable, llamada Z3, construida en 1941 en el cuarto de estar de la casa de sus padres en Berlín.

3.- Actividad matemática. - Sucesión de Fibonacci

               Entre los matemáticos europeos de la Edad Media, el más importante fue sin duda LEONARDO DE PISA (1170-1250), conocido por FIBONACCI (el hijo de Bonaccio, un rico comerciante italiano). Fue uno de los precursores de la introducción en Europa del sistema de numeración árabe, el que utilizamos en la actualidad. Su obra más importante, el Liber Abaci, contiene toda la aritmética conocida hasta entonces.

              En dicho libro aparece descrita la famosa sucesión de Fibonacci, que surge del siguiente problema: Supongamos un par de conejos adultos, macho y hembra, encerrados en un cercado, donde pueden anidar y criar. Los conejos empiezan a procrear a los dos meses de su nacimiento, engendrando siempre un único par macho-hembra, y a partir de ese momento cada mes tienen un par más de similares características. Admitiendo que no muriese ninguno de los conejitos, ¿cuántos contendría el cercado al cabo de un año.

Cuestiones

              1.- Comprueba que el número de parejas de conejos por mes sigue la sucesión 1, 1, 3, 5, 8, 13, .... (sucesión de Fibonacci). Un esquema gráfico puede ayudarte a ver mejor la situación. Responde a la cuestión planteada en el enunciado del problema: ¿cuántos pares de conejos contendría el cercado al cabo de un año?

               2.- A la vista de los términos de la sucesión, ¿podrías obtener una relación sencilla entre los mismos que describa la sucesión?

                3.- Comprueba con los primeros términos que una expresión general para la sucesión de Fibonacci viene dada por

              4.- ¿Cuál es la razón entre un término y el siguiente? En otras palabras, calcula el  El valor del límite obtenido se conoce como razón áurea o divina proporción.

               5.- La sucesión de Fibonacci y la razón áurea aparecen frecuentemente tanto en la Naturaleza como en realizaciones humanas. La razón áurea fue estudiada por los griegos en un contexto geométrico. Se trataba de dividir un segmento AB por un punto P de forma que se cumpliera la relación

           (1)

 

Llamando a  AP / PB = j, y teniendo en cuenta que AP + PB = AB, demuestra que la igualdad (1) nos lleva a la ecuación  j² - j - 1 = 0. Resuelve la ecuación para obtener j en modo exacto. Aproxima ese valor con 6 decimales.

               6.- Curiosamente, j es también la razón entre el lado de un pentágono regular y su diagonal, lo que hace posible construir ese polígono con regla y compás. Trata de verificar la primera afirmación a partir de la construcción geométrica del pentágono regular conocido el lado.

            

                7.- En la película, el protagonista, Max Cohen, indica cómo se construye la espiral logarítmica a partir de la sucesión de Fibonacci del siguiente modo: comenzando con un cuadrado de 1 cm. de lado, añadimos otro cuadrado idéntico para obtener un rectángulo 2 x 1. Añade a este rectángulo un cuadrado 2 x 2 por el lado más largo para formar un rectángulo 3 x 2. A éste se le añade un cuadrado 3 x 3, obteniéndose un rectángulo 5 x 3, y así sucesivamente. Uniendo los extremos opuestos mediante arcos de circunferencia como se ve en la gráfica, se obtiene la “espiral dorada”.

             Realiza esta construcción en papel milimetrado, llegando hasta donde te permita el tamaño de la hoja y dibuja luego la espiral. ¿Dónde se encuentra la sucesión de Fibonacci en esta construcción? ¿Y la razón áurea?

               8.- La construcción de la espiral dorada se le atribuye a PITÁGORAS que la consideraba poseedora de propiedades místicas. Observa en la construcción descrita en el apartado anterior que todos los rectángulos que surgen están divididos por la razón áurea. Ningún otro rectángulo tiene esta propiedad. la espiral logarítmica aparece en la Naturaleza frecuentemente: conchas de caracolas de mar, la forma que toma la leche en una taza de café tras darle vueltas, el desplazamiento del humo de un cigarrillo en el aire, la disposición de las pipas en la cara de un girasol, en nuestras huellas dactilares, en el ADN, en la forma de la Vía Láctea y otras galaxias, etc. ¿Recuerdas alguno de estos objetos en la película? Comenta a partir de todo esto la siguiente cuestión planteada en la película:

               “my new hypothesis: if we’re built from Spirals while living in a giant Spiral, then is it possible that everything we put our hands to is infused with the Spiral?”

               9.- La sucesión de Fibonacci se aplican en botánica en el estudio de la disposición de las hojas, la filotaxia. Los brotes y hojas de los árboles surgen a diferentes ángulos. Se ha verificado que, en el manzano y el roble, por ejemplo, una espiral trazada en torno a la rama pasa por 5 brotes cada 2 vueltas completas, en el álamo y el peral, una espiral de 3 vueltas pasa por 8 brotes. Las escamas de una piña de pino están dispuestas en 5 hileras que corren hacia arriba y a la derecha y 8 que lo hacen a la izquierda. Las cabezas de las margaritas y los girasoles suelen tener 21 espirales creciendo en una dirección y 34 en la otra (Puedes consultar sobre este asunto el capítulo 11 del libro Fundamentos de geometría de H.S.M. COXETER). Desde este punto de vista, observa algunas plantas, cactus o árboles y trata de verificar la existencia de estas espirales y la presencia de la sucesión de Fibonacci.

               No sólo en la Naturaleza están la sucesión de Fibonacci, la razón áurea o las espirales presentes. Los psicólogos han comprobado experimentalmente que la gente encuentra más agradable las formas geométricas en proporción áurea que en cualquier otra relación. Arquitectos y artistas la han utilizado desde la época clásica. En la disposición de muchos edificios clásicos o en las proporciones del canon de belleza del cuerpo humano (en la película aparecen varias veces dibujos de LEONARDO DA VINCI a este respecto) están presentes. En el libro La geometría en el arte de DAN PEDOE puedes encontrar abundante información sobre la razón áurea en arquitectura, pintura y escultura.

               También aparece en la estructura de los mercados financieros. Por ejemplo, cuando un valor de bolsa ha empezado a cambiar su tendencia después de algunos días subiendo o bajando de forma clara, se puede prever que la corrección será del 61.8 %  (observa los decimales de 1/ j  y compáralos con los de j . ¿Qué observas?) o del 38.2% (1 - j). Son las llamadas líneas de Fibonacci, tenidas muy en cuenta por los analistas de mercados financieros. También se aplican para tratar de identificar cambios en las tendencias de mercado y se dibujan en periodos de tiempo proporcionales a 5, 8, 13, 21, .... Como puede observarse, la película está bastante documentada a este respecto.

               10.- Finalmente, sobre el número p que da título al film, indicaremos que se haya también presente en todas partes, de la astronomía a la física, pasando por campos tan aparentemente dispares como la literatura, el arte o la poesía. A lo largo de la Historia se han ido calculando aproximaciones por diferentes métodos tratando de alcanzar su valor exacto, hasta que en 1882 el matemático FERDINAND LINDEMANN probó algebraicamente que es un número trascendente, por lo que su expresión decimal es infinita y no es construible geométricamente. Aun así, muchas personas dedican sus esfuerzos a buscar aproximaciones gráficas a su valor cada vez más exactas. Una de ellas, propuesta en 1913 por el matemático hindú SRINIVASA RAMANUJAN, es como sigue:

               A partir del círculo de radio unidad, se consideran M, punto medio de OA, y T tal que OT = OB. Se toman los puntos P sobre la circunferencia de modo que TP sea perpendicular a AB, y Q verificando que BQ = TP. Tomamos a continuación S como punto medio de AQ y D tal que AD=AS. Los segmentos TR, BQ y OS deben ser paralelos. Considera la recta tangente a la circunferencia por A y obtén C de modo que AC = RS. Finalmente, BE = BM y G cumpliendo que EG sea paralelo a CD. ¿Qué relación existe entre BG y p? Puedes resolver la cuestión empleando coordenadas mediante los conceptos estudiados en bachillerato de Geometría Analítica.

               Existen muchas construcciones geométricas similares que aproximan el valor de p. En el libro Prácticas de Matemáticas de Bachillerato con DERIVE para Windows de la editorial Ra-Ma puedes encontrar ésta y otras aproximaciones tanto geométricas como numéricas. Con la ayuda del programa DERIVE (no importa que versión del programa utilices, todo el contenido del libro se puede hacer sin problemas con todas las versiones) para realizar los cálculos, podrás fácilmente obtener cientos de decimales de p.

               En la actualidad hay muchos grupos de personas que programan sus ordenadores para alcanzar un nuevo récord de decimales de p. En 1995, el equipo del japonés YASUMASA KANADA de la Universidad de Tokyo logró 6.442.450.938 decimales. Estos cálculos no son tan inútiles como pudiera pensarse; son un test para localizar errores en los cada vez más potentes microprocesadores. Así fue como se detectó el famoso error del primer Intel Pentium hace unos años. Una dirección de internet en castellano en la que puedes encontrar diversas curiosidades sobre p es http://webs.adam.es/rllorens/pidoc.html.