179.- Goldbach, orgullo, amor

             Estrenada hace unos meses, revisamos El teorema de Marguerite, nueva película francesa centrada en la investigación matemática, con todos los tópicos habituales, pero de indudable interés para los que nos dedicamos a esta disciplina.

            El lector habitual de estas reseñas recordará que entre los meses de junio y septiembre proponíamos un concurso matemático-cinéfilo-cultural cuyo objetivo era descubrir el título de una película a través de la resolución de unos ejercicios encuadrados en secuencias de esa película. Sin ningún patrocinador, no podemos ofrecer premios, pero aún así, se me pasó por la cabeza preparar una propuesta con el único aliciente de resolver las cuestiones. No descarto hacerlo el año próximo, pero para éste ya el tiempo se me echó encima.

            A principios de septiembre del año pasado, compartí en redes el anuncio del estreno de una nueva película con trasfondo matemático. En España se acabó estrenando el día 20, aunque a algunas ciudades ha ido llegando con posterioridad, no permaneciendo más allá de una o dos semanas en cartel (película europea, de temática intelectual, y sin súper héroes). Echemosla un vistazo. Como siempre, empezamos con sus datos básicos:

            Ficha Técnica:   

Título: El teorema de Marguerite. Título Original: Le théorème de Marguerite Nacionalidad: Francia, 2023. Dirección: Anna Novion. Guion: Anna Novion, Mathieu Robin, Marie-Stéphane Imbert, Agnès Feuvre. Fotografía: Jacques Girault, en Color. Montaje: Anne Souriau. Música: Scratch Massive. Producción: Adrian Blaser, Miléna Poylo, Gilles Sacuto, Aline Schmid. Duración: 113 min. 

Ficha artística

Intérpretes: Ella Rumpf (Marguerite Hoffmann), Jean-Pierre Darroussin (Laurent Werner), Clotilde Courau (Suzanne), Julien Frison (Lucas Savelli), Sonia Bonny (Noa), Xiaoxing Cheng (Sr. Kong), Idir Azougli (Yanis), Camille de Sablet (La entrenadora), Karl Ruben Noel (El bailarín), Ava Baya (La novia del bailarin), Gautier Boxebeld (El gerente), Esdras Registe (El colega), Leïla Muse (La periodista), Édouard Sulpice (Un estudiante), Dominique Ratonnat (El profesor), Pakirathan Sulakshan (El matemático).

Premios: César 2024 a la mejor actriz revelación (Ella Rumpf), Suiza 2024 a la mejor actriz protagonista (Ella Rumpf), Lumiere 2024 a la mejor actriz revelación (Ella Rumpf) y Cannes 2024 al mejor diseño de producción (Anne-Sophie Delseries).

            Argumento: Marguerite Hoffmann, una brillante alumna que está preparando su tesis doctoral en un tema difícil, se siente traicionada por su director de tesis, después de que un compañero encuentre un error en la demostración del resultado más importante de su trabajo, cuando ella lo presentaba públicamente. Decepcionada, decide abandonarlo todo.

Aspectos matemáticos en la película

            Son muchos y variados. Describiré y comentaré los más evidentes.

1.- Conjetura de Goldbach

            La protagonista trata de demostrar este conocido resultado. La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos (es decir, aún por resolver) más célebres de las matemáticas. Por su facilidad de entender, y porque es conocida desde hace mucho tiempo. CHRISTIAN GOLDBACH (1690 – 1764) fue un matemático prusiano que en 1742 escribió una carta a LEONHARD EULER preguntándole si podía demostrar un hecho que había percibido con todos los números que había comprobado: Todo número par mayor que 2, ¿se puede expresar como suma de dos números primos? No hace falta que sean primos diferentes (por ejemplo 6 = 3 + 3), y el número 1 no se considera primo (por eso lo de que tenga que ser un número mayor que 2). Por supuesto, EULER no logró ni demostrar ni refutar la cuestión. Sólo alcanzó a responderle, en 1753, que había comprobado que la conjetura era cierta hasta el número 2500.

            GOLDBACH, de hecho, lo que había propuesto en la carta era un enunciado ligeramente distinto: Cualquier número entero positivo, ¿puede expresarse como suma de tres números primos? Actualmente la conjetura se expresa en dos enunciados distintos:

            Conjetura débil: Todo entero impar mayor que 5 se puede expresar como suma de tres números primos.

            Conjetura fuerte: Todo entero par mayor que 2 puede expresarse como suma de dos números primos.

            Es fácil ver que, si estuviera demostrada la conjetura fuerte, lo estaría la débil. No hay más que restar 3 (primer número primo impar) al número impar correspondiente. Al restar dos números impares tendríamos un número par, y éste se expresaría como suma de dos números primos. Entonces el impar se escribiría como 3 más esos otros dos primos. Por ejemplo, el número 27. Haciendo 27 – 3 = 24. Como 24 es 11 + 13, entonces trivialmente

27 = 3 + 11 + 13

            Dada su sencillez, buscar una demostración general para cualquier número par ha supuesto un desafío para los matemáticos desde hace tres siglos. Muchos lo han intentado y han demostrado proposiciones intermedias encaminadas a desvelar el misterio. Entre ellos, GODFREY H. HARDY (1877 – 1947), JOHN E. LITTLEWOOD (1885 – 1977) e IVÁN M. VINOGRADOV (1891 – 1983). Este último desarrolló un procedimiento para calculas sumas sobre números primos que intentó aplicar para demostrar la conjetura débil de Goldbach. Por este intento, STALIN le concedió un premio de cien mil rublos en 1941.

            En 1933, el matemático ruso LEV G. SCHNIRELMANN (1905 – 1938) demostró que cualquier entero puede escribirse como suma de K números primos como máximo, sin especificar el valor de dicha constante K (es lamentable que un investigador tan prometedor acabara suicidándose con 33 años ante las presiones de la NKVD (Comisariado del Pueblo para Asuntos Internos), agencia soviética de seguridad precursora del KGB). A partir de ahí, numerosos investigadores trataron de refinar el valor de K, dando sentido a una sub-rama específica (por el tipo de técnicas empleadas y el objeto de sus trabajos) de la teoría de números denominada combinatoria aditiva. Ese valor de K fue bajando gracias al trabajo de muchos matemáticos; citaremos algunos: en 1969, KLIMOV demuestra que K ≤ 6 · 10⁹, cota que refina años más tarde dejandola en  K ≤ 55; el británico ROBERT C. VAUGHAN establece K ≤ 27 y posteriormente junto al sueco HANS RIESEL (1929 – 2014) en 19 en 1983, el francés OLIVIER RAMARÉ demostró que K = 6 en 1995, y finalmente TERENCE TAO en 2015 ha demostrado que todo impar mayor que 1 es suma de como mucho 5 números primos, lo que marca la cota actualmente. En este enlace se puede leer su trabajo, por si alguno está muy interesado.

            Siguiendo otros métodos de demostración, en 1973, el matemático CHEN JINGRUN (1933 – 1996) demostró el ahora llamado teorema de Chen, que afirma que todo número par suficientemente grande puede escribirse como suma de dos números primos o como suma de un primo y un semiprimo (un semiprimo es un número que es producto de dos primos). Este resultado se considera el paso más cercano y consistente hacia la prueba de la conjetura fuerte de Goldbach, y desarrolló una nueva técnica denominada teoría de cribas. En 1999 (como muchos homenajes, tarde, pues ya había fallecido; también hicieron de su vida un infierno, por cierto), China le dedicó un sello, en cuya cabecera se lee (en chino), El mejor resultado sobre la conjetura de Goldbach. La desigualdad que se incluye sintetiza su teorema. También lleva su nombre un asteroide, el número 7681. En 2020, le dedicaron un nuevo sello

         La conjetura débil fue resuelta en el 2013 por el matemático peruano HARALD ANDRÉS HELFGOTT (nacido en 1977) quien consiguió demostrar que para todo número impar mayor que 10³⁰ la conjetura es cierta. Luego, con el uso de un ordenador, verificó que cada número impar menor que 10³⁰ podía expresarse como la suma de tres primos. Aquí puede leerse su demostración basada en una técnica denominada método del círculo (análisis de Fourier de funciones suma de exponenciales, unida a la búsqueda de ceros de funciones L).

            Como curiosidad, parece (no está confirmado con claridad) que algunos autores han encontrado en hojas manuscritas que RENÉ DESCARTES (1596 – 1650) indicó que todo número entero es suma de uno, dos o tres números primos. Si fuera así, habría establecido el resultado de GOLDBACH un siglo antes. Pero ya se sabe que, si no se publica, no se puede establecer la autoría de lo que sea.

            Por cierto, si alguien piensa que la conjetura puede ser falsa y busca un contraejemplo, que empiece a buscar a partir de n > 4 ∙ 10^18, que es hasta donde los ordenadores han llegado por ahora (a la lectura de estas líneas, puede que la cota esté en unos miles más).

2.- Endre Szemerédi

            Los protagonistas (Marguerite; su director de tesis, Laurent Werner; y el joven estudiante de Oxford, Lucas Savelli) repiten en varios momentos que el camino para llegar a demostrar Goldbach es demostrar Szemerédi.

             ENDRE SZEMERÉDI (Budapest, 1940) es uno de los matemáticos actuales más notables. En la actualidad profesor de ciencias de la computación en la Universidad de Rutgers (New Jersey, EE. UU.), ha sido galardonado con el Premio Pólya (lo otorga cada dos años la Sociedad de Matemáticas Aplicadas e Industriales reconociendo trabajos relevantes aplicados a Combinatoria, Teoría de aproximación, Análisis Complejo, Teoría de Números, Probabilidad, el aprendizaje matemático; en definitiva las áreas de interés del matemático que lleva su nombre, GEORGE PÓLYA) en 1975, el Premio Leroy P. Steele (es anual, lo concede la Sociedad Estadounidense de Matemática, para distinguir la labor de investigación y escritura en el campo de las matemáticas) en 2008, el Premio Schock (bianual, otorgado por la Real Academia de las Ciencias de Suecia) también en 2008, y el Premio Abel (anual, de la Academia Noruega de Ciencias y Letras) en 2012,  “por sus contribuciones fundamentales en Matemática Discreta y en Ciencias de la computación, así como en reconocimiento del profundo y duradero impacto de estas contribuciones a la teoría aditiva de números y la teoría ergódica (comportamiento a largo plazo de los sistemas dinámicos)”​.

            Con más de 200 artículos publicados, es difícil condensar en unas líneas toda su investigación que ha abarcado tantas disciplinas. No obstante, sin lugar a dudas, destaca la demostración del teorema que lleva su nombre, y que ha motivado muchos otros resultados en diferentes ramas de las matemáticas:

           Todo conjunto de números enteros con densidad positiva contiene infinitas progresiones aritméticas de longitud k, para cualquier entero k.

            En la demostración de este resultado, una obra maestra de razonamiento combinatorio según los especialistas, SZEMERÉDI utilizó el llamado lema de regularidad (una herramienta técnica enunciada en términos de teoría de grafos) que a la postre ha dado lugar a un procedimiento general llamado método de regularidad. A su vez, este método ha permitido desarrollar el llamado lema de eliminación, que a su vez ha motivado aplicaciones en otras áreas, entre ellas la informática teórica, además por supuesto de la teoría de grafos y la teoría de números. SZEMERÉDI lo demostró en 1975 con técnicas de análisis combinatorio, HILLEL FURNSTENBERG volvió a probarlo en 1977 con métodos de teoría ergódica, y posteriormente el británico WILLIAM TIMOTHY GOWERS dio una prueba analítica en 1995 que le hizo merecer una medalla Fields. Por supuesto, entrar en detalle en estos resultados se sale de largo del objetivo de este artículo, eminentemente divulgativo, pero necesitamos al menos conocer alguna jerga del mismo para atisbar ligeramente lo que aparece en la película.

            En una escena de la misma, cuando Marguerite entra en el comedor de la facultad jaleada de un modo un tanto infantil por otros alumnos, después de comer, saca sus apuntes para repasar lo que va a ser la presentación pública de su esperada tesis. Y entrevemos la siguiente imagen:

            Si uno trata de buscar alguna información a partir del texto que se ve en la imagen, enseguida encontramos que se trata de una tesis doctoral real titulada Arithmetic Statistics for Quaternion Algebras (Estadística aritmética para álgebras de cuaterniones) presentada por DIDIER LESESVRE en 2018. LESESVRE es en la actualidad profesor asociado en la Universidad de Lille. Dicha tesis trata sobre representaciones automórficas, sus funciones L y fórmulas de trazas, herramientas de trabajo de la teoría de números moderna. A pesar de que aparecen en muchos contextos, el comportamiento de las formas automórficas es difícil de comprender. Éstas se estudian dentro de conjuntos (este es uno de los objetivos de la Estadística Aritmética), en particular el estudio de formas automórficas dentro de un grupo. La tesis de LESESVRE presenta las formas automóficas en la familia de álgebras de cuaterniones, enuncia la ley de crecimiento de la familia truncada respecto a una noción adecuada de tamaño, y explora la distribución de los ceros de bajo rango de las funciones L verificando parcialmente la conjetura de densidad. Hablando en plata: este trabajo, en efecto es de teoría de números, pero no tiene que ver absolutamente nada ni con los trabajos de SZEREMEDI ni con la conjetura de GOLDBACH.

Es llamativo que siendo HARALD HELFGOTT investigador CNRS en la École normale supérieure (ENS, Paris), no hayan basado en su trabajo las expresiones que van apareciendo en la película, ya que su trabajo tiene más que ver con la conjetura de Goldbach real que los resultados de SZEREMEDI que citan y escriben. Ni siquiera aparece citado en los títulos de crédito finales, en los que se relacionan todos los matemáticos cuyos resultados van apareciendo en diferentes momentos de la película. Casualmente, hace unos días, HELFGOTT ha impartido en la Residencia de Estudiantes de Madrid una charla sobre números primos organizada por el ICMAT (bastante divulgativa; la puede seguir prácticamente cualquiera con un mínimo conocimiento matemático) que puede verse en este enlace.

3.- Pirámide de Goldbach

            A lo largo de la película vemos en varias ocasiones un triángulo de líneas y números al que llaman pirámide de Goldbach.

 Por ejemplo, en esta imagen, vemos en la habitación del apartamento de Marguerite el cartel de un ciclo de conferencias sobre la conjetura de Goldbach. Se trata de una representación gráfica  realizada por los artistas ADAM CUNNINGHAM y JOHN RINGLAND. Su interpretación es evidente: en azul y naranja, en los lados del triángulo, aparecen descritos los números primos; en la altura del triángulo, en negro aparecen los números pares. Si nos fijamos, por ejemplo en el número 8, observamos un círculo blanco en la intersección de la semirecta naranja del 5 y la azul del 3. No hay más formas de expresar el 8 como suma de dos primos. Sin embargo, si nos fijamos en el número 10, aparecen dos círculos: uno como intersección del 5 azul y el 5 naranja, y el otro del 3 y del 7. Según bajamos (o sea aumentando el número par), van surgiendo cada vez más círculos blancos, es decir, más modos de escribir el número par como suma de dos primos.

4.- El anagiro

            Cuando Lucas Savelli se encuentra con Marguerite en el comedor de la facultad, ella está jugando con un objeto que gira en un determinado sentido, y en un momento dado, cambia el sentido de giro (en la foto anterior, vemos la mano de la chica haciéndolo girar). Como excusa para empezar a hablar con ella, el chico detalla el curioso comportamiento del objeto, y que un compañero de Oxford hizo una tesis sobre este objeto. En el doblaje al español de la película se ha traducido textualmente su denominación en francés, Anagyre, pero en castellano también se conoce como trompo o peonza celta. En inglés, rattleback o wobble stone.

Más detalladamente, si se coloca sobre una superficie horizontal plana y se le hace girar en una dirección específica sobre un eje vertical, deja de girar rápidamente, oscila sobre un eje horizontal y luego empieza a girar en sentido contrario. En muchos casos, muestra inversión de giro solo en una dirección del giro inicial, girando de forma estable en la dirección opuesta. En efecto existen diferentes trabajos matemáticos que modelizan su comportamiento en términos de ecuaciones diferenciales no lineales. Las simulaciones numéricas predicen que un anagiro situado sobre una base oscilante armónica puede exhibir una rica dinámica de bifurcación, incluyendo diferentes tipos de movimientos periódicos, cuasiperiódicos y caóticos y mantener inalterada la geometría del espacio del modelo. Dicha geometría suele corresponder a un semielipsoide.

5.- El Mahjong

El mahjong es un juego de origen chino muy popular, para cuatro jugadores que juegan individualmente. Consta de 144 fichas (de nácar, marfil o más comúnmente plástico), divididas en 36 fichas de bambú, 36 fichas de puntos (o círculos), 36 fichas de letras y otras fichas especiales. Hay 4 copias de cada una de las fichas de bambú, puntos, letras y especiales. Además, hay 1 copia de cada una de las 4 fichas de flores y 4 de estaciones.  

Al comenzar la partida, cada uno de los cuatro jugadores roba 13 fichas como mano inicial. Luego, cada jugador roba y descarta una ficha por turnos hasta que un jugador forme una mano ganadora usando 13 fichas en mano y una ficha recién robada o una ficha recién descartada de otro jugador. Una mano ganadora estándar (un mahjong) consiste en un par idéntico y cuatro conjuntos de pungs (tres fichas idénticas) o chows (tres fichas consecutivas de puntos, bambú o letras). En este enlace hay una descripción detallada del juego y alguna de sus muchas variantes.

            Es un juego de habilidad, estrategia, cálculo y un pelín de azar. Algunos investigadores han sugerido que el Mahjong es un buen juego cognitivo con un impacto positivo en pacientes con enfermedad de Alzheimer. Los aspectos matemáticos básicos del Mahjong tiene que ver con teoría combinatoria elemental y algunas técnicas básicas de programación.

A diferencia del ajedrez o el Go, los jugadores no tienen información completa de los demás durante la partida. Es necesario anticipar lo que los demás esconden en sus manos y crear tu propio plan de juego. Los jugadores hábiles pueden anticipar las estrategias de los demás observando las fichas que van descartando. Jugar bien al Mahjong requiere un buen uso de combinatoria, cálculo de probabilidades, teoría de juegos, psicología, …, en suma, un nivel de inteligencia avanzado.

Imagen: las fichas que Marguerite imagina

Compendio de tópicos

            Dejando claro que poner en escena el trabajo de una investigación teórica e intelectual, como es la matemática, no es sencillo, la mayor parte de los esquemas que aparecen en esta película, ya se han visto en otras de temática similar: utilización del talento matemático para ganar dinero en algún juego (igual que la Sabine de C'est la tangente que je préfère con partidas clandestinas de póker; o los alumnos del profesor Micky Rosa en 21 Blackjack; o Raymond Babbitt en Rain Man, ambos en los casinos), la obsesión por demostrar algún problema matemático abierto que puede llevar a situaciones extremas y a escribir matemáticas por paredes, cristales, etc. (el John Nash de Una mente maravillosa; la Sofia Kowalewskaya de Una montaña en la cara oculta de la Luna;  el Max Cohen de Pi, Fe en el Caos; Alvah Jesper en Clandestino y Caballero; hay bastantes más), la exposición de resultados matemáticos en grandes encerados bajo la atenta mirada de un público extasiado (la alumna de Muerte de un ciclista; de nuevo la Sofia Kowalewskaya de Una montaña en la cara oculta de la Luna; el malogrado Ettore Majorana en Los muchachos de Via Panisperma; el Larry Gopnik en Un tipo serio; el Arthur Seldom de Los crímenes de Oxford; etc.), la incomprensión de los demás ante el genio junto al tema amoroso (aquí hay legión también, citemos como muestra El indomable Will Hunting, o La soledad de los números primos),…

            A pesar de todo, estamos ante una película recomendable, que puede descubrir a mucha gente el mundo del investigador matemático, la competitividad y la desconfianza entre colegas (la película toma finalmente la opción positiva de que es mucho mejor la colaboración ya que nos hace avanzar más rápido y fomenta mejores relaciones interpersonales además de sentirnos más a gusto con nosotros mismos y los demás; quizá un poco utópico para el mundo en que desgraciadamente estamos), con un trabajo de los actores realmente notable, pero que quizá no cause demasiado interés entre el público no interesado a priori.

            No queda claro el papel del profesor Werner. Ante el error de su pupila y el tiempo que lleva tutelándola, ¿se ha cansado de verdad de ella porque cree que seguir con ella es perder su valioso tiempo? ¿O es sincero con sus argumentos? Por un momento parece harto, pero luego busca reconducir a la protagonista ante su drástica decisión. Al final, da la impresión de que se jacta de haber sido profesor suyo (cuando ya ha triunfado, y no gracias a él). Resulta contradictorio, pero no negaré que existen profesores así.

En algún lugar he leído que la película toma como punto de partida querer plasmar las dificultades que la matemática SOPHIE GERMAIN (1776 – 1831) tuvo para poder destacar en un mundo eminentemente masculino. Sinceramente no creo que sean comparables ni las épocas ni las circunstancias. A Marguerite la apoya su madre, puede estudiar y tiene a su alcance de todo lo que dispone cualquier otro alumno, algo muy distinto de lo que sufría SOPHIE GERMAIN; en mi opinión sólo tienen en común una misma fuerza de voluntad, y que ambas trabajaron en teoría de números (y que ambas son francesas).

Según sus propias manifestaciones, la directora ANNA NOVION, nunca pretendió hacer una película enmarcada en el mundo de las matemáticas. Tenía en mente plasmar de algún modo su propia experiencia personal: a los 20 años estuvo aislada en cama por culpa de una enfermedad. Al recuperarse, sintió un abismo entre sus compañeros y ella, con una actitud indolente y despreocupada por parte de ellos, como si no existiera. Se planteó el tema de los jóvenes que, por la causa que sea, no necesariamente una enfermedad, viven en mundos cerrados, sin demasiada relación con nadie. Conoció entonces a la matemática ARIANE MÉZARD (profesora en la Sorbona que trabaja en Geometría Aritmética, premio Fullbright en 2018). Cuando le habló de su trabajo, la recordó su propio mundo: la pasión, las obligaciones, los riesgos que asumes al investigar y no estar segura de conseguir o demostrar lo que buscas. Le gustó el tema y decidió enmarcar la historia en el mundo de las matemáticas, aunque tuvo que documentarse mucho porque no conocía nada de él. La propia MÉZARD trabajó duramente con la actriz ELLA RUMPF para que diera la impresión de que lo que escribe en todas las escenas de la película sea creíble y parezca que sabe de lo que habla.

Otras referencias

            No es la primera vez que la conjetura de Goldbach es el Macguffin en una película. Recordemos la española La habitación de Fermat, o el cortometraje The Calculus of Love. Y literariamente, seguramente también se recordará El tío Petros y la conjetura de Goldbach, amena novela escrita por APOSTOLOS DOXIADIS.

            Pero es que tampoco es la primera vez que se menciona el teorema de SZEMEREDI en el cine. En las páginas 32 y 33 del libro Las Matemáticas en el Cine (está mal que uno se autoreferencie, pero es donde aparece la cita) se describe con detalle una escena eliminada de la película El indomable Will Hunting que aparece en los contenidos extra del DVD, en la que Will y el profesor Lambeau “juegan” a descubrir una progresión aritmética de longitud tres en la lista 123456789. Por turnos, uno elimina números para evitar que aparezca esa progresión, mientras el otro elige dígitos para lograrlo.

            Por supuesto la película contiene muchas más matemáticas que las indicadas (por ejemplo, en la siguiente imagen aparece una demostración del teorema de los números primos), pero el objetivo de esta reseña es animar a ver la película al lector que no lo haya hecho y exponer de un modo sencillo (siento si no lo he logrado) algunas cosas técnicas que aparecen y confirmar o no su verosimilitud.

            Aunque he tardado en escribir una nueva reseña, no se quejarán de la longitud.

¡¡FELIZ VERANO!!

  

Alfonso Jesús Población Sáez