184.- Otro matemático letal

 

             Los que seguís este blog probablemente echabais de menos una nueva reseña. Normalmente suelo subir una al mes. Esta vez no ha sido así, no por otra cosa que, aunque sigo viendo mucho cine, no han aparecido (al menos a mi no me han surgido) nuevas referencias relevantes a las matemáticas en ninguna película ni serie de televisión. Esa es la razón por la que me he demorado en una nueva publicación. Igual que, si en algún momento surgen varias, escribiría (dentro de mis posibilidades, obviamente, que hay muchas más ocupaciones) tantas como me apetecieran.

            A falta por tanto de material matemático en los recientes estrenos, echamos un poco la vista atrás, a una serie que no conocía, cuyo episodio piloto contiene referencias más que interesantes. Como siempre empecemos con una pequeña ficha técnica y artística.

Ficha técnica

Título: Lewis. Episodio piloto Reputación. Título Original: Inspector Lewis. - Reputation. Nacionalidad: Reino Unido, 2006 – 2015. Dirección: Bill Anderson. Guion: Stephen Churchett, basado en las novelas policiacas del inspector Morse de Colin Dexter. Fotografía: Chris O'Dell, en Color. Montaje: Pamela Power. Música: Barrington Pheloung. Producción: Christopher Burt y Kate McKerrell. Duración: 93  min. Estrenada en TV el 29 – 01 – 2006.

Ficha artística

            Kevin Whately (Inspector Detective Robert Lewis), Laurence Fox (Sargento Detective Hathaway), Charlie Cox (Danny Griffon), Sophie Winkleman (Regan Peverill), Alex Knight (Inspector Detective Knox), Colin Starkey (Bernard Beech), Jack Ellis (Rex Griffon), Jemma Redgrave (Trudi Griffon), Dennis Matsuki (Mr. Tanigaki), Flora Spencer-Longhurst (Jessica Pollock), Danny Webb (Tom Pollock), Rosalyn Wright (Azafata), Clare Holman (Dr. Laura Hobson), Lizzy McInnerny (Kate Jekyll), Rebecca Front (Jefa Superintendente Jean Innocent), Marc Elliott (Hal Bose), Michael Maloney (Ivor Denniston), Michael Hobbs (Secretario del Club).

Argumento: El inspector Lewis regresa a Oxford tras varios años de ausencia. Su nuevo jefe, la superintendente Innocent, le asigna a regañadientes el caso del asesinato de una estudiante de matemáticas de Oxford asesinada mientras participaba en un estudio del sueño. El código de acceso al laboratorio del sueño con el que el asesino entró, pertenecía a un compañero de matemáticas, Daniel Griffin, pero su tutor le ha proporcionado una coartada. Daniel es un joven inadaptado que pronto heredará el imperio automovilístico de su fallecido padre. Es problemático y no respeta a su tío, que es quien dirige la empresa. El futuro de la compañía depende de un inminente acuerdo con inversores japoneses que insisten en que la unidad familiar es primordial en este momento. Cuando se producen otros dos asesinatos, Lewis debe descifrar una pista críptica dejada en un antiguo expediente por su antiguo jefe, el inspector jefe Morse.

Las matemáticas

            Dejando a un lado la trama policiaca, veamos las matemáticas que aparecen a lo largo del episodio. Antes que nada, se puede ver íntegro (en versión original subtitulado en español) en el enlace

https://www.youtube.com/watch?v=Jqiq0RRxmS4

después de un par de anuncios publicitarios (la servidumbre de internet, ya sabéis).

            Tras una pequeña panorámica de parte de la ciudad de Oxford (lugar donde se desarrolla toda la serie), la cámara se centra en Wadham College. Se trata de uno de los colleges más céntricos de la Universidad de Oxford. El término college tiene un significado muy amplio y diferente dependiendo del país o de la propia universidad. Por dar alguna similitud con el caso español que es el que conocemos mejor, vienen a ser como  los antiguos colegios mayores. Proporcionan alojamiento, comida, bibliotecas, actividades deportivas y sociales, y nombran tutores para seguir el desarrollo académico de los estudiantes. En paralelo, la universidad a la que están asociados se encarga de las clases, realiza los exámenes y otorga los títulos. Los colleges son entidades totalmente independientes de las universidades fuera de esa relación que acabamos de describir. Son propietarias de sus inmuebles, con personal propio y su propio presupuesto. En algunos casos los colleges pueden tener mejores condiciones financieras que las universidades a las que están asociados. Hablamos de Reino Unido que es donde se desarrolla el episodio que comentamos; en los Estados Unidos, los colleges son distintos.

            La cámara nos dirige a una habitación del college, en la que escuchamos una canción del grupo de rock británico Muse. Se formó en 1994 y se caracteriza por interpretar composiciones de rock alternativo, rock progresivo y rock duro mezclado con música electrónica. Ya oímos que es un tanto desquiciante, pero es que además este grupo es conocido por sus extravagantes espectáculos en vivo, y por sus temáticas de conspiración global, revoluciones, vida extraterrestre, apocalipsis y existencialismo, entre otras lindezas. A la vez que lo oímos, vemos a un personaje (luego sabremos que es un alumno de matemáticas) escribiendo de forma compulsiva y delirante (al son de la música) en una pizarra cosas como ésta:

            Evidentemente el actor se equivocó al escribir las expresiones. Debería haber escrito 3⁵ y 3⁶, en lugar de 5₃ y 6₃, respectivamente. En matemáticas esa notación, como mucho podría ser 6 en base 3, pero nunca 3⁶ (sabemos que es 3⁶ porque posteriormente escribe 216).

            Mientras van desfilando los títulos, aparece lo que dos de los protagonistas hacen a lo largo del día (ambos estudiantes de matemáticas como averiguaremos posteriormente; en cualquier caso, tranquilos que no digo nada que desvele algo importante de la trama). Para los interesados en saber cuáles fueron los lugares reales donde se rodó el episodio, toda la información con fotos aparece en este enlace.

            Uno de los enigmas que los policías deben resolver tiene que ver con un código personal de seis dígitos que hay que introducir para acceder a un edificio donde se comete un asesinato. La supervisora tiene acceso a todos los accesos que tiene lugar a lo largo del día, y resulta que el que entró a la hora en que se cometió el crimen era 12 – 47 – 14, perteneciente a Daniel Griffon, el estudiante de matemáticas que vimos al comienzo, compañero de la alumna asesinada.

            En torno al minuto 17:42, aparece la habitación de Daniel, y éste, pensativo, se aproxima a la pizarra que aparece en la siguiente imagen.

          Poco después (minuto 18:22), el inspector Lewis y su ayudante, el sargento Hathaway, van, lógicamente, a visitar a Daniel a su habitación en Wadham College. Volvemos a oír a todo volumen una canción de otro grupo de rock indie llamado Art Brut (podría traducirse como Arte marginal). El chico no tiene demasiadas ganas de que lo molesten (según él está “trabajando”, haciendo matemáticas, y la inspiración no viene muy a menudo). Por supuesto, los detectives hacen caso omiso de tales argumentos. Nada más ver la pizarra, el inspector Lewis indica “Matemáticas, ¿verdad?” ¡¡Qué listos los detectives!!

            Preguntan al joven dónde estaba la noche anterior. Responde que estuvo en una clase con el tío Ivor, el nombre coloquial con el que llaman a su tutor de matemáticas, Ivor Denninston. Acaban hablando del código de entrada al laboratorio del sueño. Lewis le pregunta si tiene anotado el código en alguna parte, pensando que otra persona puede haberlo visto y suplantado. Daniel muestra una media sonrisa, típica de los que están muy seguros de si mismos: “No me hace falta anotar nada. Soy bueno con los números”. Finalmente lo detienen hasta que puedan comprobar su coartada.

            El siguiente paso de Lewis es ir a ver al profesor Ivor Denninston (minuto 22:32). Está dando clase:

Denninston: Y nunca olvidar lo que Euler le escribió a Goldbach. ¿Qué le escribió Euler a Goldbach, Sr. Bose? (Hal Bose es un alumno, compañero de Daniel Griffon; comparten tutor).

            Bose: Que le importaba un comino si no se podía demostrar, pero que todo número par es la suma de dos números primos. (La conjetura de Goldbach, aún por determinar si es o no cierta).

            Denninston: ¡¡La cita exacta!!

            Bose: Está en la nota al pie 74, página 102, de su éxito de ventas, disponible en todas las buenas librerías.

            Denninston: Y pronto se lanzará en DVD y Vídeo protagonizado por Tom Cruise como Christian Goldbach. (Risas de los alumnos). Ah, el chascarrillo genial de la semana del tío Ivor: en una placa conmemorativa de una casa de Munich: “Heisenberg podía haberse quedado aquí”. (Más risas). Banda de patéticos. Salid pitando.

            Como vemos, Denninston es el típico profesor graciosillo que se considera asimismo superior al resto de mortales, y además del más inteligente, es el más ocurrente, el más guay, ¡¡el tío perfecto!! ¿Habéis conocido a algún profesor de matemáticas similar? Seguro que sí.

            Respecto a lo que cuenta en clase, evidentemente el diálogo está pensado para que lo entienda la mayoría de los espectadores, y de paso que puedan aprender algo (además de tratar de mostrar que los intervinientes están a un cierto nivel intelectual). Para alguien que se dedica a dar clase también, el que esto suscribe, me parece absolutamente fuera de lugar para una clase de matemáticas de verdad, preguntar qué le dijo una persona a otra, o una cita exacta de algo. Para una charla de divulgación a un público que no sabe algo, es una mera anécdota sin mayor interés, pero incluso, citar la conjetura de Goldbach en un foro donde todo el mundo debe saberlo, pues es de lo más estúpido. Lo tomamos como información para el telespectador (y para el inspector Lewis, claro). Pero ya en el colmo del “cuñadismo”, el alumno pelota haciendo propaganda del libro escrito por el profesor, éste fabulando con una película sobre Goldbach, y finalmente el chiste (sin gracia) sobre el principio de incertidumbre de Heisenberg, pues que quieren que les diga, que me parece una estupidez. Aunque a los matemáticos nos agrade que se mencionen personajes matemáticos y resultados célebres. Todo sea por culturizar al personal un poco.

            Se presenta entonces Lewis, y Denninston, mostrando nuevamente que está al loro de todo, le explica la desgraciada muerte de Regan Peverill, y antes de que le pregunte por ella, se adelanta a explicar que sólo la conoció en su primer año, en el que siguió un curso básico de matemáticas puras, para pasarse después a la informática (se aprecia cierto retintín frustrante en el comentario, algo así como ¡¡vaya manera de desperdiciar su talento!!). Incluso se atreve a criticar su conducta cuando luego hablan de su relación con Daniel Griffon. Vamos, un encanto de profesor. Al despedirse, el inspector Lewis trata también de aportar su grado de “cuñadismo” preguntándolo por si el chiste se refería al principio de incertidumbre, a lo que Denninston responde muy serio (siguiendo la broma del propio principio de incertidumbre) con un “No estoy seguro”. Por supuesto, Lewis entiende el nuevo chiste (¡¡es el protagonista de la serie, por Dios!!).

            A continuación, inspeccionan la habitación de la fallecida Regan. Allí encuentran el libro escrito por el profesor Denninston (el de la imagen), de donde deducimos (y obviamente ellos también) que en realidad Regan no pasaba tanto de las matemáticas como quiso dar a entender Denninston. Lewis lee la contraportada y comenta que el profesor ganó la medalla Fields en 1985 por ese trabajo (¡¡ahí es nada!! En una escena posterior la veremos colgada en una pared de su casa). Si paran la imagen y se molestan en leer esa contraportada, nos percatamos que se lo han currado los encargados del arte del episodio.

Lo más interesante

            En diferentes momentos en que se ha mostrado la habitación de Daniel, aparece una pizarra con unas expresiones un tanto “extrañas”. En primer lugar, dos fórmulas:

x₃ = − x₁ − x₂

y₃ = −y₁ + (x₁ − x₃)

Veamos qué podemos decir sobre ellas. El primer elemento no trivial que llama nuestra atención es la fracción debajo del cuadrado de la primera igualdad. A cualquier alumno de bachillerato debería “sonarle”.

Dados dos puntos cualesquiera del plano (x₁, y₁), (x₂, y₂), la ecuación de la recta que pasa por ellos es

y = y₁ + (x − x₁)

La pendiente de dicha recta viene dada por la fracción  (seguro que el lector recuerda que la derivada primera de una función indica la pendiente de la recta tangente a la función en un punto; si no recuerda la expresión de la pendiente de una recta, puede utilizar esa idea del concepto de derivada para obtenerla). Ya tenemos identificado un posible sentido a parte de la igualdad.

Esa fracción aparece elevada al cuadrado. Nos viene inmediatamente a la cabeza la parábola y = x². A continuación simplemente resta las abscisas de los dos puntos de los que ha partido para construir la recta. Con ello obtiene una nueva abscisa x₃, de un nuevo punto. La ordenada para dicho punto, y₃, resulta ser el valor que se obtiene de sustituir la abscisa obtenida, en la ecuación de la recta, salvo un pequeño detalle: que no sustituye x₃ en x (lo que nos daría el factor (x₃ − x₁)), sino que ha puesto (x₁ − x₃). Es decir, lo ha cambiado de signo, lo mismo que hace con el primer sumando, que lo ha cambiado a −y₁. En suma, toma como y₃ el simétrico respecto al eje de abscisas (el OX).

            Si lo hacemos con un ejemplo concreto, tomando los puntos A(−2, 2) y B(1,1), tenemos la situación que vemos en la gráfica siguiente

            Aquí ya debemos tener conocimientos un poco más amplios que los de la matemática elemental para saber lo que se está haciendo. Además, en la imagen observamos un cuadro 8 x 8 con unas letras que nos da la pista definitiva. Es la típica tabla de operación de un grupo finito generado por ocho elementos (conocida también como tabla de Cayley). De las anotaciones que vemos al margen (que ahora comentaremos), esa operación es la suma, y de dicha tabla observamos que hay un punto que es el elemento neutro (el denotado por O), ya que al ser sumado con el resto de puntos (A, B, C, D, E, F, G), dichos puntos quedan como están (ver primera fila y primera columna). Precisamente, al ser la primera fila y la primera columna iguales, el grupo que quiere construir parece que es abeliano (conmutativo, si lo prefieren). Y digo parece porque sólo de esa fila y columna no se puede decidir si es abeliano. Para estar completamente seguros la tabla debe de ser simétrica (al cambiar todas las filas por columnas, debe dar la misma tabla). Hay un instante en que vemos la tabla completa, 

y en efecto, la tabla es simétrica. En definitiva, hasta ese momento, el protagonista ha estado buscando qué puntos tiene que tomar para que la suma de ellos, definida por los valores x₃ e y₃ de arriba, formen un grupo finito abeliano de ocho elementos. Es un algoritmo similar a los de adición y de la curva elíptica, empleados para factorizar números grandes.

            Veamos las operaciones intermedias que aparecen en la imagen. Pone

B + D = (1, 0) + (4, 5)

Con esos dos puntos, pasa a calcular x₃ con la fórmula explicada anteriormente. Obviamente no está sumando esos puntos con la suma habitual, porque entonces directamente escribiría (5, 5) que es el resultado “habitual” de la suma de dos puntos del plano. Rescribo lo que pone:

x₃ = − 1 – 4 = − 5

Y entonces, ¡¡sorpresa!!, escribe

− 5 = 4² – 5 = 16 – 5 = 11 = 4

B + D = C

C + E = (4, 2) + (5, 1)

¿Por qué C = (4, 2)? ¿Qué “cuentas” ha hecho?

Que no cunda el pánico. Todo es correcto. Hay dos sitios donde está la respuesta. El más evidente es el de 11 = 4. Todos sabemos que 11 y 4 no son iguales, …, salvo que estemos aplicando congruencias. 11 – 4 = 7, lo que parece indicarnos que está trabajando módulo 7. En efecto 11 ≡ 4 mod 7. Eso explica también el que, en lugar de 5 del numerador de la fracción, ponga a continuación 12 (12 ≡ 5 mod 7). Ha puesto un 12 porque la división entre 3 es entera con el 12, pero no con el 5. Y como módulo 7 son iguales, pues, sin problema, y las cuentas son más rápidas y sencillas.

A continuación, va a calcular el resultado de C + E. Debería haber escrito

x₃ = − 4 – 5 = − 9 = 1 – 9 = – 8 ≡ – 1 ≡ 6

Dejando aparte que no utiliza el símbolo de congruencias, sino el de igual, hay dos erratas en lo que aparece en la imagen. ¿Las localiza el lector?

Tampoco calcula y₃, pero lo podemos hacer nosotros con a partir de su expresión

y₃ = – 2 + (–1)(4 – (–1)) = – 2 – 5 = – 7 ≡ 0

            Por tanto, C + E = G, siendo G = (6, 0). Después calcula C + F, que va a resultar ser A. El lector puede comprobarlo. Así, los puntos (que aparecen en la parte superior de la pizarra) son

A = (0, 0), B = (1, 0), C = (4, 2), D = (4, 5), E = (5, 1), F = (5, 6), G = (6, 0)

Falta el elemento neutro. Nuevo ejercicio para el lector.

            La tabla del grupo completa es

Tabla de multiplicación

	O	A	B	C	D	E	F	G
O	O	A	B	C	D	E	F	G
A	A	O	G	F	E	D	C	B
B	B	G	O	D	C	F	E	A
C	C	F	D	B	O	G	A	E
D	D	E	C	O	B	A	G	F
E	E	D	F	G	A	B	O	C
F	F	C	E	A	G	O	B	D
G	G	B	A	E	F	C	D	O

Elección de contraseñas

            Cada vez tenemos más aplicaciones bajadas al móvil o al ordenador, nos registramos en más páginas, necesitamos contraseñas para entrar en páginas de nuestro trabajo, bancos, tarjetas de crédito, etc. Mucha gente, a pesar de que nos advierten del riesgo de emplear siempre la misma, hacen eso. Bueno, el protagonista del episodio nos da una pista de qué utilizar para que las combinaciones numéricas sean diferentes y sin embargo recordar cuál fueron. En este caso, el detective Lewis necesita averiguar cuál podría haber sido la contraseña que Daniel utilizó para poder acceder a su correo electrónico (recordemos que en una escena anterior, se jactaba de no necesitar apuntar las contraseñas, porque era bueno con los números). Conoce la combinación que utilizaba para entrar en el laboratorio del sueño, 12 – 47 – 14, en el club de remo le explican que la combinación para abrir el candado de las pertenencias de Daniel es 496, pero ninguna sirve para su ordenador; tampoco su nombre pasado a cifras según el orden en el alfabeto.

            Hacia el minuto 82, el inspector Lewis encuentra al compañero de Daniel, Hal Bose, ordenando el cuarto de Daniel. Comenta que su trabajo (lo que explicamos antes del grupo abeliano de ocho puntos del plano) no era demasiado brillante. Lewis le comenta la contraseña que utilizaba Daniel para acceder al laboratorio del sueño, por si alguien pudiera haberla descubierto. Reconoce que para él son números aleatorios, pero quizá signifiquen algo para un matemático. Inmediatamente Bose sonríe. Enseguida reconoce un patrón (por estas cosas a los matemáticos nos consideran “raritos”, y en el cine parece que da siempre mucho juego). Bose reconoce en esa combinación (recordemos, 12 – 47 – 14) los números perfectos. En efecto, estáis pensado lo mismo que yo. He aquí la explicación.

            Como a cualquiera sin demasiados conocimientos matemáticos le pasaría, Lewis no sabe que son los números perfectos. El chico se lo explica:

            Bose: No es 12 – 47 – 14. Es 1, 2, 4, 7 y 14, cuya suma es 28. Un número perfecto. Un número cuya suma de divisores positivos da ese mismo número.

            Lewis: No. Me he perdido.

            Bose: 6 es el número perfecto más pequeño. Con él es más sencillo explicárselo.

           Le pide los divisores de 6 y Lewis se los dice. Olvida el 1, pero el chico se lo hace ver, y finalmente le muestra porqué 6 es perfecto, como vemos en la imagen.

            Y le explica que 28 es el siguiente número perfecto, y 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Su clave estaba formada por todos los divisores positivos de 28. Le explica además que los números perfectos son muy raros, porque hay pocos conocidos, y todos acaban en 6 o en 8. Entonces menciona que los siguientes son 496, 8128, … En ese momento, Lewis se percata de que 496 era la combinación que Daniel utilizó para la cerradura del club de remo, así que, había que probar con el siguiente 8128, que, en efecto, desbloqueaba su cuenta de e-mail. Eso les permitirá acceder a documentos privados relacionados con la conjetura de Goldbach, y con ello resolverán los casos de asesinato que investigan.

            De modo que, ya saben, una posibilidad de elegir claves numéricas sin repetir es coger números que verifiquen alguna propiedad. Pero claro, hay que saber dichos números.

Finalmente …

          ¡¡Qué ganas tienen los guionistas con que se demuestre la conjetura de Goldbach!! Hace bien poquito hablábamos sobre El teorema de Margueritte (en el enlace, además de analizar la película, hacíamos una lista de otras películas en las que dicha conjetura es la estrella). Evidentemente, el profesor Denninston no lo demostró, ni pudo ganar la Medalla Fields (sobrepasa además la edad para poder acceder a ella). Independientemente de estas “erratillas”, los comentarios sobre los números perfectos, y la construcción del grupo finito que aparece en el episodio son correctos, mereciendo, bajo mi punto de vista, figurar entre las referencias televisivas destacables desde el punto de vista matemático. En cuanto al argumento policiaco, la trama, etc., no está mal tampoco, quizá demasiados cadáveres para no ser descubierto por una apropiación indebida por sostener un ego desmesurado. Júzguelo el espectador. Se admiten comentarios.

Sobre la serie

Lewis es una serie dramática británica de detectives producida por ITV, cuyo episodio piloto se estrenó en 2006 continuando la primera temporada a lo largo de 2007. La serie completa consta de nueve temporadas.  Es un spin-off de Inspector Morse y, al igual que ésta, está ambientada en Oxford. Kevin Whately retoma su personaje, Robert "Robbie" Lewis, que era el sargento de Morse en la serie original. Lewis ha sido ascendido a inspector de policía y cuenta con la ayuda del sargento James Hathaway, interpretado por Laurence Fox, que asciende a inspector antes del inicio de la octava temporada. La serie también cuenta con la participación de Clare Holman como la patóloga forense Dra. Laura Hobson, que también retoma su papel de Inspector Morse; y, desde la octava temporada, Angela Griffin como la sargento Lizzie Maddox.

El 2 de noviembre de 2015, ITV anunció que la serie finalizaría tras su novena temporada, después de  que los protagonistas principales, Kevin Whately y Laurence, Fox decidieran retirarse de sus papeles. Whately argumentó que llevaba ya 30 años interpretando el mismo personaje (empezó con Inspector Morse) y que su personaje había protagonizado muchas historias.  

ALFONSO JESÚS POBLACIÓN SÁEZ